Fraktály Fraktál je geometrický tvar, který obsahuje detailní strukturu ve všech libovolně malých měřítkách a obvykle má fraktální dimenzi, která striktně převyšuje topologickou dimenzi. Mnoho fraktálů vypadá podobně v různých měřítkách, jak je znázorněno na po sobě jdoucích zvětšeních Mandelbrotovy množiny. Tento výskyt podobných vzorů ve stále menších měřítkách se nazývá sebepodobnost, také známá jako expandující symetrie nebo rozvíjející se symetrie. Pokud je tato replikace přesně stejná v každém měřítku, jako u Mengerovy houby, nazývá se tvar afinní sebepodobný. Fraktální geometrie leží v rámci matematické větve teorie míry. Jedním ze způsobů, jak se fraktály liší od konečných geometrických útvarů, je způsob, jakým se mění. Zdvojnásobení délky hran vyplněného mnohoúhelníku zvětší jeho plochu čtyřikrát, což je dva (poměr nové délky strany ke staré délce strany) umocněné na druhou (konvenční dimenze vyplněného mnohoúhelníku). Podobně, pokud se zdvojnásobí poloměr vyplněné koule, její objem se zvětší osmkrát, což je dva (poměr nového poloměru ke starému poloměru) na třetí (konvenční dimenze vyplněné koule). Pokud jsou však všechny jednorozměrné délky fraktálu zdvojnásobeny, prostorový obsah fraktálu se zvětší na mocninu, která nemusí být nutně celé číslo a je obecně větší než jeho konvenční dimenze. Tato mocnina se nazývá fraktální dimenze geometrického objektu, aby se odlišila od konvenční dimenze (která se formálně nazývá topologická dimenze). Analyticky jsou mnohé fraktály nikde nediferencovatelné. Nekonečnou fraktální křivku lze chápat jako vinutí se prostorem jinak než běžná čára - přestože je stále topologicky jednorozměrná, její fraktální dimenze naznačuje, že lokálně vyplňuje prostor efektivněji než běžná čára. Počínaje 17. stoletím s pojmy rekurze prošly fraktály stále přísnějším matematickým zpracováním až ke studiu spojitých, ale nediferencovatelných funkcí v 19. století díky průkopnické práci Bernarda Bolzana, Bernharda Riemanna a Karla Weierstrasse a dále k ražení slova fraktál ve 20. století s následným prudkým zájmem o fraktály a počítačové modelování ve 20. století. Mezi matematiky existují určité neshody ohledně toho, jak by měl být koncept fraktálu formálně definován. Sám Mandelbrot to shrnul jako "krásné, zatraceně těžké, stále užitečnější. To jsou fraktály." Formálněji v roce 1982 definoval Mandelbrot fraktál takto: "Fraktál je podle definice množina, pro kterou Hausdorffova-Besicovitchova dimenze striktně převyšuje topologickou dimenzi." Později, když to považoval za příliš omezující, zjednodušil a rozšířil definici na toto: "Fraktál je drsný nebo fragmentovaný geometrický tvar, který lze rozdělit na části, z nichž každá je (alespoň přibližně) zmenšenou kopií celku." Ještě později navrhl Mandelbrot "používat fraktál bez pedantské definice, používat fraktální dimenzi jako obecný termín použitelný pro všechny varianty". Konsenzus mezi matematiky je, že teoretické fraktály jsou nekonečně sebepodobné iterované a detailní matematické konstrukce, z nichž bylo formulováno a studováno mnoho příkladů. Fraktály se neomezují pouze na geometrické vzory, ale mohou také popisovat procesy v čase. Fraktální vzory s různým stupněm sebepodobnosti byly vykresleny nebo studovány ve vizuálních, fyzikálních a zvukových médiích a byly nalezeny v přírodě, technologii, umění a architektuře. Fraktály jsou obzvláště důležité v oblasti teorie chaosu, protože se objevují v geometrických zobrazeních většiny chaotických procesů (obvykle buď jako atraktory, nebo jako hranice mezi povodími přitažlivosti).
Facebook Twitter