Glosář komutativní algebry
Toto je glosář komutativní algebry.
Viz také seznam témat algebraické geometrie, glosář klasické algebraické geometrie, glosář algebraické geometrie, glosář teorie okruhů a glosář teorie modulů.
V tomto článku se předpokládá, že všechny okruhy jsou komutativní s identitou 1.
!$@ ()
1. k (x, y, ...) je rozšíření tělesa k generované prvky x, y, ...
2. (x, y, ...) je ideál generovaný prvky x, y, ...
3. (I : J) je ideálový podíl I podle J, který se skládá ze všech prvků x takových, že xJ ⊆ I.
[] R[x, y, ...] je polynomiální okruh nad R.
[[]] R[[x, y, ...]] je okruh formálních mocninných řad nad R.
{} R{x, y, ...} je okruh formálních mocninných řad nad R splňující nějakou podmínku konvergence.
^ Â je doplnění A.
A
Absolutní integrální uzavření
Absolutní integrální uzavření je integrální uzavření integrální domény v algebraickém uzavření oboru zlomků této domény.
Absolutní
Slovo „absolutní“ obvykle znamená „ne relativní“, tj. v jistém smyslu nezávislé na základním tělese. Často je synonymem slova „geometrické“.
1. Absolutně plochý okruh je okruh, v němž jsou všechny moduly nad ním ploché. (Nekomutativní okruhy s touto vlastností se nazývají von Neumannovy regulární okruhy.)
2. Ideál v polynomiálním okruhu nad tělesem se nazývá absolutně prvočíselný, pokud jeho rozšíření zůstává prvočíselné pro každé rozšíření tělesa.
3. Ideál v polynomiálním okruhu nad tělesem se nazývá absolutně nerozvětvený, pokud je nerozvětvený pro každé rozšíření tělesa.
4. Absolutně normální je alternativní výraz pro geometricky normální.
5. Absolutně regulární je alternativní výraz pro geometricky regulární.
6. Absolutně jednoduchý bod je bod s geometricky regulárním lokálním okruhem.
Akceptovatelný okruh
Akceptovatelné okruhy jsou zobecněním vynikajících okruhů, přičemž podmínky týkající se regulárních okruhů v definici jsou nahrazeny podmínkami týkajícími se Gorensteinových okruhů.
Adická
I-adická topologie na okruhu má bázi okolí 0 danou mocninami ideálu I.
Afinní okruh
Afinní okruh R nad jiným okruhem S (často tělesem) je okruh (nebo někdy integrální doména), který je konečně generován nad S.
Algebraicko-geometrický lokální okruh
Lokální okruh, který je lokalizací konečně generované domény nad tělesem.
Téměř
1. Prvek x okruhu se nazývá téměř integrální nad podokruhem, pokud existuje regulární prvek a podokruhu tak, že axn je v podokruhu pro všechna kladná celá čísla n.
2. Integrální doména S se nazývá téměř konečná nad podokruhem R, pokud je její obor zlomků konečným rozšířením oboru zlomků S.
Výška
1. Výška okruhu je zastaralý název pro jeho dimenzi.
2. Výška ideálu je další název pro jeho výšku.
Analytický
1. Analytické rozpětí ideálu lokálního okruhu je Krullova dimenze vlákna ve zvláštním bodě lokálního okruhu Reesovy algebry ideálu.
2. Analytická odchylka ideálu je jeho analytické rozpětí mínus jeho výška.
3. Analytický okruh je podíl okruhu konvergentních mocninných řad v konečném počtu proměnných nad tělesem s hodnocením.
Analyticky
To často odkazuje na vlastnosti doplnění lokálního okruhu; srov. #formálně
1. Lokální okruh se nazývá analyticky normální, pokud je jeho doplnění integrálně uzavřenou doménou.
2. Lokální okruh se nazývá analyticky nerozvětvený, pokud jeho doplnění nemá žádné nenulové nilpotentní prvky.
3. Lokální okruh se nazývá analyticky ireducibilní, pokud jeho doplnění nemá žádné dělitele nuly.
4. Dva lokální okruhy se nazývají analyticky izomorfní, pokud jsou jejich doplnění izomorfní.
Anulátor
Anulátor podmnožiny modulu je ideál prvků, jejichž součin s jakýmkoli prvkem podmnožiny je 0.
Artin
Emil Artin
Michael Artin
3. Artinův modul je modul splňující podmínku sestupné posloupnosti na podmodulech.
4. Artinův okruh je okruh splňující podmínku sestupné posloupnosti na ideálech.
5. Artinovo-Reesovo lemma zavádí určitou stabilitu filtrace ideálem.
ASL
Zkratka pro algebru se zákonem narovnávání.
Přidružený
Přidružený prvoideál modulu M nad okruhem R je prvoideál p takový, že M má podmodul izomorfní k R/p.
B
Bassovo číslo
Pokud M je modul nad lokálním okruhem R s reziduálním tělesem k, pak i-té Bassovo číslo M je k-dimenze Ext_i^R(k, M).
Bézoutova doména
Bézoutova doména je integrální doména, ve které je součet dvou hlavních ideálů hlavní ideál.
Velký
Slovo „velký“ použité na modul zdůrazňuje, že modul nemusí být nutně konečně generován. Zejména velký Cohenův-Macaulayův modul je modul, který má systém parametrů, pro který je regulární.
Booleův okruh
Booleův okruh je okruh takový, že x^2 = x pro všechna x.
Bourbakiho ideál
Bourbakiho ideál torzně volného modulu M je ideál izomorfní (jako modul) torzně volnému podílu M volným podmodulem.
Buchsbaumův okruh
Buchsbaumův okruh je noetherovský lokální okruh, ve kterém je každý systém parametrů slabá posloupnost.
C
Kanonický
„Kanonický modul“ je alternativní výraz pro dualizující modul.
Katenární
Okruh se nazývá katenární, pokud mají všechny maximální řetězce mezi dvěma prvoideály stejnou délku.
Střed
Střed hodnocení (nebo místa) je ideál prvků kladného řádu.
Řetězec
Přísně rostoucí nebo klesající posloupnost prvoideálů.
Charakteristika
Charakteristika okruhu je nezáporné celé číslo generující Z-ideál násobků 1, které jsou nula.
Čistý
1. Konečně generovaný modul M nad noetherovským okruhem R se nazývá čistý, pokud má konečnou filtraci, jejíž všechny podíly mají tvar R/p, kde p je přidružený prvoideál M. Silnější varianta této definice říká, že prvoideály p musí být minimálními prvoideály nosiče M.
2. Prvek okruhu se nazývá čistý, pokud je součtem jednotky a idempotentu, a nazývá se téměř čistý, pokud je součtem regulárního prvku a idempotentu. Okruh se nazývá čistý nebo téměř čistý, pokud jsou všechny jeho prvky čisté nebo téměř čisté, a modul se nazývá čistý nebo téměř čistý, pokud je jeho endomorfní okruh čistý nebo téměř čistý.
CM
Zkratka pro Cohenův-Macaulayův.
CoCoA
Počítačový algebraický systém CoCoA pro výpočty v komutativní algebře
Cohloubka Algebra*
Artinian
1. Nazvaná podle Emila Artina
2. Artinovský modul je modul, který má konečnou délku, tedy každá sestupná řada submodulů se zastaví.
3. Artinovský prsten je prsten, který je Artinovským modulem nad sebou samým, tedy každý jeho ideál je konečně generovaný.
4. Artinovská podmínka na délku říká, že každý sestupný řetězec ideálů se zastaví.
Cohenovo-Macaulay
1. Nazvaná podle Paul Cohena a Francise Macaulaye
2. Cohenovo-Macaulay modul je modul, jehož lokální kohomologie je nulová ve všech kladných stupních.
3. Cohenovo-Macaulay prsten je prsten, jehož každý lokalizovaný prsten je Cohenovo-Macaulay modul nad ním.
Faktorový
1. Faktorový prsten je prsten vytvořen z jiného prstenu dělením ideálem.
2. Faktorový modul je modul vytvořen z jiného modulu dělením submodulem.
Grothendieckův
1. Nazvaná podle Alexandra Grothendiecka
2. Grothendieckův prsten je prsten, který je ekvivalencí kategorií k jiné kategorii.
3. Grothendieckův topos je kategorie, která se chová jako kategorie množin.
Jacobsonův
1. Nazvaná podle Nathana Jacobsona
2. Jacobsonův radikál prstenu je průnik jeho maximálních ideálů.
3. Jacobsonův prsten je prsten, jehož každý primární ideál je průnikem maximálních ideálů.
Krullův
1. Nazvaná podle Wolganga Krulla
2. Krullův prsten (nebo Krullova doména) je prsten s dobře fungující teorií prvočíselného rozkladu.
3. Krullova dimenze je rozměr prstenu jako variety.
Noetherovský
1. Nazvaná podle Emmy Noether
2. Noetherovský modul je modul, který má konečně generované submoduly.
3. Noetherovský prsten je prsten, který je Noetherovským modulem nad sebou samým, tedy každý jeho ideál je konečně generovaný.
4. Noetherova normalizace vyjadřuje konečně generovanou algebru nad tělesem jako konečný modul nad polynomiálním prstencem.
Prvočíselný
1. Prvočíselný ideál je vlastní ideál, jehož doplněk je uzavřený při násobení.
2. Prvočíselný prvek prstenu je prvek, který generuje prvočíselný ideál.
3. Prvočíselný lokální prsten je lokalizace celých čísel na prvočíselném ideálu.
Prsten
1. Abstraktní algebraická struktura se dvěma operacemi: sčítáním a násobením.
2. Komutativní prsten je prsten, kde komutuje násobení.
3. Algebra nad prstenem je modul s další operací násobení skaláry.
Zariskiho
1. Nazvaná podle Oscara Zariskiho
2. Zariskiho topologie na prstenu je topologie, jejíž uzavřené množiny jsou prvoideály.
3. Zariskiho prsten je prsten, který je komutativním kruhem s jednotkou a jehož spektrum je noetherovským topologickým prostorem.
Další důležité pojmy
Algebraicky uzavřené těleso
Celá čísla
Derivátor
Důsledky
Ekvivalenční relace
Filtrace
Funktor
Homologie
Ideál
Injektivní modul
Kategorie
Komutativní diagram
Komplement
Kohomologie
Kompozice
Kvadratický prsten
Lokální prsten
Matice
Maximální ideál
Minimální ideál
Modul
Monoid
Morfismus
Násobnost
Neznámá
Operátor
Průsečík
Prvočíslo
Přímý součet
Přímý součin
Projektivní modul
Prsten zlomků
Radicand
Radikál
Rozšíření
Řád
Skupina
Spektrum
Submodul
Subring
Surjektivní zobrazení
Syzygie
Systém rovnic
Tangenciální prostor
Těleso
Tenzorový součin
Topos
Topologie
Totální prsten zlomků
Transponovaná matice
Triviální prsten
Univerzální vlastnost
Variabilní
Vektorový prostor
Věta o dobré uspořádanosti
Vnoření
Výška ideálu
Výška prvoideálu
Základní prvek
Základní těleso
Závěr Hodnocení
1. Hodnocení je homomorfismus z nenulových prvků tělesa do zcela uspořádané abelovské grupy s vlastnostmi podobnými p-adickému hodnocení racionálních čísel.
2. Hodnoticí okruh je integrální obor R takový, že pokud x je v jeho podílovém tělese a je nenulové, pak buď x, nebo jeho inverze je v R.
3. Hodnoticí skupina je zcela uspořádaná abelovská grupa. Hodnoticí skupina hodnoticího okruhu je grupa nenulových prvků podílového tělesa modulo grupa jednotek hodnoticího okruhu.
Slabý
1. Slabá dimenze je alternativní název pro plochou dimenzi modulu.
2. Posloupnost (a1, ⋯, ar) prvků maximálního ideálu m se nazývá slabá posloupnost, pokud m⋅((a1, ⋯, ai−1):ai)⊂(a1, ⋯, ai−1) pro všechna i.
Weierstrassův okruh
Weierstrassův okruh je lokální okruh, který je Henselianský, pseudometrický a takový, že každý podílový okruh podle prvoideálu je konečným rozšířením regulárního lokálního okruhu.
XYZ Zariski
1. Pojmenováno po Oscaru Zariskim
2. Zariskiho okruh je úplný noetherovský topologický okruh se základnou okolí 0 danou mocninami ideálu v Jacobsonově radikálu (dříve nazývaném semilokální okruh).
3. Zariskiho topologie je topologie na spektru okruhu, jejíž uzavřené množiny jsou množiny prvoideálů obsahujících daný ideál.
4. Zariskiho lemma říká, že pokud je těleso konečně generovanou algebrou nad jiným tělesem, pak je to konečněrozměrný vektorový prostor nad tímto tělesem.
5. Zariskiho hlavní lemma o holomorfních funkcích říká, že n-tá symbolická mocnina prvoideálu v polynomiálním okruhu je průnik n-tých mocnin maximálních ideálů obsahujících prvoideál.
6. Zariskiho tečný prostor lokálního okruhu s maximálním ideálem m je duální k vektorovému prostoru m/m2.
Dělitel nuly
Dělitel nuly v okruhu je prvek, jehož součin s některým nenulovým prvkem je 0.
Související články
Slovník teorie okruhů
Reference
McCarthy, Paul J. (1991), Algebraic extensions of fields (Corrected reprint of the 2nd ed.), New York: Dover Publications, p. 119, Zbl 0768.12001
Bourbaki, Nicolas (1998), Commutative algebra. Chapters 1–7, Elements of Mathematics (Berlin), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-64239-8
Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 39, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41068-7, MR 1251956
Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). "Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 8. doi:10.1007/bf02699291. MR 0217084.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 11. doi:10.1007/bf02684274. MR 0217085.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1963). "Éléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 17. doi:10.1007/bf02684890. MR 0163911.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1965). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Seconde partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 24. doi:10.1007/bf02684322. MR 0199181.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 28. doi:10.1007/bf02684343. MR 0217086.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
Nagata, Masayoshi (1962), Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, New York-London: Interscience Publishers, ISBN 978-0470628652
Tento článek vychází z Wikipedie. Text je licencován pod Creative Commons - Attribution - Sharealike. Pro mediální soubory mohou platit další podmínky.