Optimalizace s omezeními
Optimalizace s omezeními (v některých souvislostech nazývaná optimalizace s omezením) je proces optimalizace cílové funkce vzhledem k některým proměnným za přítomnosti omezení pro tyto proměnné. Cílová funkce je buď funkce nákladů nebo energetická funkce, která má být minimalizována, nebo funkce odměny nebo funkce užitku, která má být maximalizována. Omezení mohou být buď tvrdá omezení, která nastavují podmínky pro proměnné, které musí být splněny, nebo měkká omezení, která mají některé hodnoty proměnných, které jsou penalizovány v cílové funkci, pokud, a na základě toho, že podmínky pro proměnné nejsou splněny.
Formální definice
Matematicky lze problém optimalizace s omezeními formulovat následovně:
```
min f(x)
subject to:
g(x) <= 0
h(x) = 0
```
kde:
f(x) je cílová funkce, která má být minimalizována
g(x) jsou nerovnostní omezení
h(x) jsou rovnostní omezení
Typy omezení
Existují dva hlavní typy omezení:
Tvrdá omezení jsou podmínky pro proměnné, které musí být vždy splněny. Pokud nejsou tvrdá omezení splněna, problém nemá řešení.
Měkká omezení jsou podmínky pro proměnné, které nemusí být vždy splněny. Pokud nejsou měkká omezení splněna, jsou penalizovány v cílové funkci.
Metody optimalizace s omezeními
Existuje mnoho různých metod pro řešení problémů optimalizace s omezeními. Mezi nejběžnější patří:
Metody Lagrangeových multiplikátorů
Metody vnitřních bodů
Metody aktivní množiny
Metody penalizace
Aplikace
Optimalizace s omezeními má širokou škálu aplikací v různých oblastech, včetně:
Konstrukce
Výroba
Finance
Logistika
Zdravotnictví
Příklad
Zvažte následující problém optimalizace s omezeními:
```
min x^2 + y^2
subject to:
x + y <= 1
x >= 0
y >= 0
```
Cílem tohoto problému je minimalizovat funkci f(x, y) = x^2 + y^2 za podmínek, že x + y <= 1, x >= 0 a y >= 0.
Řešení
Pomocí metody Lagrangeových multiplikátorů lze tento problém vyřešit následovně:
```
L(x, y, lambda) = x^2 + y^2 + lambda(1 - x - y)
```
Řešením soustavy rovnic ∂L/∂x = 0, ∂L/∂y = 0 a ∂L/∂lambda = 0 získáme:
```
x = 1/2
y = 1/2
lambda = 1
```
Proto optimální řešení tohoto problému je x = y = 1/2.