Matice (matematika)
V matematice je matice (mn. č.: matice) obdélníkové pole nebo tabulka čísel, symbolů nebo výrazů uspořádaných do řádků a sloupců, která se používá k reprezentaci matematického objektu nebo vlastnosti takového objektu.
Například:
```
[ 1 9 - 13 20 5 - 6 ]
```
je matice se dvěma řádky a třemi sloupci. Často se jí říká „dvě ku třem“, „2 × 3“ nebo matice dimenze 2 × 3.
Matice se používají k reprezentaci lineárních zobrazení a umožňují explicitní výpočty v lineární algebře. Proto je studium matic velkou částí lineární algebry a většina vlastností a operací abstraktní lineární algebry lze vyjádřit pomocí matic. Například násobení matic představuje kompozici lineárních zobrazení.
Ne všechny matice souvisejí s lineární algebro. To je případ zejména v teorii grafů, matic výskytu a matic sousednosti.
Tento článek se zaměřuje na matice související s lineární algebro a pokud není uvedeno jinak, všechny matice reprezentují lineární zobrazení nebo mohou být jako takové považovány.
Čtvercové matice, matice se stejným počtem řádků a sloupců, hrají v teorii matic důležitou roli. Čtvercové matice dané dimenze tvoří nekomutativní kruh, který je jedním z nejběžnějších příkladů nekomutativního kruhu.
Determinant čtvercové matice je číslo spojené s maticí, které je základní pro studium čtvercové matice; například čtvercová matice je invertibilní právě tehdy, má-li nenulový determinant, a vlastní čísla čtvercové matice jsou kořeny polynomiálního determinantu.
V geometrii se matice široce používají pro specifikaci a reprezentaci geometrických transformací (například rotací) a změn souřadnic.
V numerické analýze je mnoho výpočetních problémů řešeno jejich redukcí na výpočet matice, a to často zahrnuje výpočty s maticemi obrovské dimenze.
Matice se používají ve většině oblastí matematiky a ve většině vědeckých oborů, ať už přímo, nebo prostřednictvím jejich použití v geometrii a numerické analýze.
Teorie matic
Teorie matic je odvětví matematiky, které se zaměřuje na studium matic. Původně byla pododvětvím lineární algebry, ale brzy se rozrostla tak, že zahrnovala i témata související s teorií grafů, algebrou, kombinatorikou a statistikou.
Definice
Matice je obdélníkové pole čísel (nebo jiných matematických objektů) nazývaných položky matice. Matice podléhají standardním operacím, jako je sčítání a násobení.
Nejčastěji je matice nad tělesem F obdélníkové pole prvků F. Reálná matice a komplexní matice jsou matice, jejichž položky jsou reálná čísla nebo komplexní čísla. Obecnější typy položek jsou diskutovány níže.
Například toto je reálná matice:
```
A = [ - 1,3 0,6 20,4 5,5 9,7 - 6,2 ]
```
Čísla, symboly nebo výrazy v matici se nazývají její položky nebo prvky. Horizontální a vertikální řádky položek v matici se nazývají řádky a sloupce.
Velikost
Velikost matice je definována počtem řádků a sloupců, které obsahuje. Počet řádků a sloupců matice (v obvyklém smyslu) není nijak omezen, pokud jsou to kladná celá čísla.
Matice s m řádky a n sloupci se nazývá m × n matice nebo m-po-n matice, kde m a n se nazývají její dimenze.
Například matice A výše je 3 × 2 matice.
Matice s jediným řádkem se nazývají vektorové řádky a matice s jediným sloupcem se nazývají vektorové sloupce. Matice se stejným počtem řádků a sloupců se nazývá čtvercová matice. Matice s nekonečným počtem řádků nebo sloupců (nebo obojí) se nazývá nekonečná matice.
V některých kontextech, jako jsou programy počítačové algebry, je užitečné uvažovat o matici bez řádků nebo sloupců, nazývané prázdná matice.
Přehled velikosti matice
| Název | Velikost | Příklad | Popis | Zápis |
|---|---|---|---|---|
| Vektorový řádek | 1 × n | [ 3 7 2 ] | Matice s jedním řádkem, někdy používaná k reprezentaci vektoru ai | |
| Vektorový sloupec | n × 1 | [ 4 1 8 ] | Matice s jedním sloupcem, někdy používaná k reprezentaci vektoru aj | |
| Čtvercová matice | n × n | [ 9 13 5 1 11 7 2 6 3 ] | Matice se stejným počtem řádků a sloupců, někdy používaná k reprezentaci lineární transformace z vektorového prostoru do sebe sama, jako je reflexe, rotace nebo smyk. | A |
| Notation | Specifika symbolického zápisu matic se značně liší, přičemž převládají některé trendy. Matice se běžně zapisují do hranatých nebo kulatých závorek, takže m × n matice A je reprezentována jako |
| A = [ a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ am1 am2 ⋯ amn ] = ( a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ am1 am2 ⋯ amn ) |
| To lze zkrátit tak, že se napíše pouze jediný obecný člen, případně spolu s indexy, jako v A = ( aij ), [ aij ], nebo ( aij )1≤i≤m, 1≤j≤n nebo A = ( ai,j )1≤i,j≤n v případě, že n = m. |
| Matice jsou obvykle symbolizovány velkými písmeny (jako A v příkladech výše), zatímco odpovídající malá písmena se dvěma dolními indexy (například a11 nebo a1,1) představují položky. Kromě použití velkých písmen k symbolizaci matic mnoho autorů používá zvláštní typografický styl, běžně tučné římské písmo (nekurzivní), aby se matice dále odlišily od jiných matematických objektů. |
| Alternativní zápis zahrnuje použití dvojitého podtržení s názvem proměnné, s nebo bez tučného stylu, jako v A ___. |
| Položka v i-tém řádku a j-tém sloupci matice A se někdy označuje jako i, j nebo (i, j) položka matice a běžně se označuje jako ai,j nebo aij. Alternativní zápisy pro tuto položku jsou A[i, j] a Ai,j. |
| Například (1, 3) položka následující matice A je 5 (označovaná také jako a13, a1,3, A nebo A1,3): |
| A = [ 4 - 7 5 0 - 2 0 11 8 19 1 - 3 12 ] |
| Někdy lze položky matice definovat vzorcem, jako je ai,j = f(i, j). |
| Například každá z položek následující matice Definice pozitivní matice
Symetrická reálná matice A se nazývá pozitivně definitní, pokud přidružená kvadratická forma f(x) = x^TAx má pro každý nenulový vektor x v R^n kladnou hodnotu. Pokud f(x) vytváří pouze záporné hodnoty, pak je A negativně definitní; pokud f vytváří jak záporné, tak kladné hodnoty, pak je A neurčitá. Pokud kvadratická forma f vytváří pouze nezáporné hodnoty (kladné nebo nulové), nazývá se symetrická matice pozitivně semidefinitní (nebo pokud pouze nepozitivní hodnoty, pak negativně semidefinitní); matice je tedy neurčitá právě tehdy, když není ani pozitivně semidefinitní, ani negativně semidefinitní. Symetrická matice je pozitivně definitní právě tehdy, když jsou všechny její vlastní čísla kladná, tj. matice je pozitivně semidefinitní a je invertibilní. Tabulka vpravo ukazuje dvě možnosti pro matice 2 x 2.
Povolení vstupu dvou různých vektorů místo toho vede k bilineární formě přidružené k A: B(x, y) = x^T Ay.
V případě komplexních matic se používá stejná terminologie a výsledek, přičemž symetrická matice, kvadratická forma, bilineární forma a transponovaná x^T jsou nahrazeny hermiteovskou maticí, hermiteovskou formou, seskvilineární formou a konjugovanou transponovanou x^H.
Ortogonální matice
Ortogonální matice je čtvercová matice se skutečnými položkami, jejíž sloupce a řádky jsou ortogonální jednotkové vektory (tj. ortonormální vektory). Ekvivalentně je matice A ortogonální, pokud je její transpozice rovna její inverzi: A^T = A^-1, což znamená A^TA = AA^T = I_n, kde I_n je jednotková matice velikosti n.
Ortogonální matice A je nutně invertibilní (s inverzí A^-1 = A^T), unitární (A^-1 = A
) a normální (A
A = AA
). Determinant jakékoli ortogonální matice je buď +1 nebo -1.
Speciální ortogonální matice je ortogonální matice s determinantem +1. Jako lineární transformace je každá ortogonální matice s determinantem +1 čistou rotací bez odrazu, tj. transformace zachovává orientaci transformované struktury, zatímco každá ortogonální matice s determinantem -1 obrací orientaci, tj. je kompozicí čistého odrazu a (případně nulové) rotace. Jednotkové matice mají determinant 1 a jsou čistými rotacemi o nulový úhel.
Komplexní analog ortogonální matice je unitární matice.
Stopa
Stopa, tr(A), čtvercové matice A je součet jejích diagonálních položek. Zatímco násobení matic není komutativní, jak bylo zmíněno výše, stopa součinu dvou matic je nezávislá na pořadí faktorů: tr(AB) = tr(BA).
To vyplývá přímo z definice násobení matic: tr(AB) = ∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{n} a_{ij} b_{ji} = tr(BA).
Z toho vyplývá, že stopa součinu více než dvou matic je nezávislá na cyklických permutacích matic, nicméně to obecně neplatí pro libovolné permutace (například tr(ABC) ≠ tr(BAC), obecně). Stopa matice je také rovna stopě její transpozice, tj. tr(A) = tr(A^T).
Determinant
Determinant čtvercové matice A (označený det(A) nebo |A|) je číslo kódující určité vlastnosti matice. Matice je invertibilní právě tehdy, když její determinant není nulový. Jeho absolutní hodnota se rovná ploše (v R^2) nebo objemu (v R^3) obrazu jednotkového čtverce (nebo krychle), zatímco jeho znaménko odpovídá orientaci odpovídajícího lineárního zobrazení: determinant je kladný právě tehdy, když je orientace zachována.
Determinant matic 2 x 2 je dán vztahem det [a b c d] = ad - bc.
Determinant matic 3 x 3 zahrnuje 6 členů (Sarrusovo pravidlo). Delší Leibnizovo pravidlo zobecňuje tyto dva vzorce na všechny dimenze.
Determinant součinu čtvercových matic se rovná součinu jejich determinantů: det(AB) = det(A) · det(B), nebo pomocí alternativní notace: |AB| = |A| · |B|.
Přičtením násobku libovolného řádku k jinému řádku nebo násobku libovolného sloupce k jinému sloupci se determinant nezmění. Výměna dvou řádků nebo dvou sloupců ovlivní determinant jeho vynásobením -1. Pomocí těchto operací lze libovolnou matici transformovat na dolní (nebo horní) trojúhelníkovou matici a pro takové matice se determinant rovná součinu položek na hlavní diagonále; to poskytuje metodu pro výpočet determinantu libovolné matice.
Nakonec Laplaceova expanze vyjadřuje determinant pomocí minorů, tj. determinantů menších matic. Tato expanze může být použita pro rekurzivní definici determinantů (považovaných za počáteční případ determinant matice 1 x 1, což je její jediná položka, nebo dokonce determinant matice 0 x 0, který je 1), která může být považována za ekvivalentní s Leibnizovo pravidlo.
Determinanty lze použít k řešení lineárních soustav pomocí Cramerova pravidla, kde dělení determinantů dvou souvisejících čtvercových matic se rovná hodnotě každé z proměnných soustavy.
Vlastní čísla a vlastní vektory
Číslo λ a nenulový vektor v splňující A v = λ v se nazývají vlastní číslo a vlastní vektor A. Číslo λ je vlastní číslo n x n -matice A právě tehdy, když A - λ I_n není invertibilní, což je ekvivalentní s det(A - λ I) = 0.
Polynom p_A v neurčitém X daný vyhodnocením determinantu det(X I_n - A) se nazývá charakteristický polynom A. Je to monický polynom stupně n. Polynomová rovnice p_A(λ) = 0 má tedy nejvýše n různých řešení, tj. vlastních čísel matice. Mohou být komplexní, i když položky A jsou reálné.
Podle Cayley-Hamiltonovy věty platí p_A(A) = 0, tj. výsledek dosazení samotné matice do jejího vlastního charakteristického polynomu dává nulovou matici.
Výpočetní aspekty
Výpočty matic lze často provádět pomocí různých technik. Mnoho problémů lze vyřešit jak přímými algoritmy, tak iterativními přístupy. Například vlastní vektory čtvercové matice lze získat nalezením posloupnosti vektorů x_n konvergujících k vlastnímu vektoru, když n směřuje k nekonečnu.
Pro výběr nejvhodnějšího algoritmu pro každý konkrétní problém je důležité určit jak účinnost, tak přesnost všech dostupných algoritmů. Oborem, který se těmito otázkami zabývá, je numerická lineární algebra.
Stejně jako u jiných numerických situací jsou dvěma hlavními aspekty složitost algoritmů a jejich numerická stabilita. Stanovení složitosti algoritmu znamená nalezení horních mezí nebo odhadů, kolik elementárních operací, jako jsou sčítání a násobení skalárů, je nutných k provedení nějakého algoritmu, například násobení matic. Výpočet maticového součinu dvou n-násobných matic pomocí výše uvedené definice vyžaduje n^3 násobení, protože pro každou z n^2 položek součinu je nutných n násobení. Algoritmus Strassen předčí tento "naivní" algoritmus; potřebuje pouze n^ Matice
Matice jsou dvourozměrné tabulky čísel, které se používají v široké škále oborů, včetně matematiky, fyziky, statistiky a informatiky. Matice lze použít k reprezentaci systémů lineárních rovnic, transformací, vektorů a dalších matematických objektů.
Základní pojmy
Pořadí matice: Počet řádků a sloupců v matici. Matice s m řádky a n sloupci se nazývá matice m × n.
Prvky matice: Čísla v matici.
Hlavní diagonála: Diagonála od levého horního rohu k pravému dolnímu rohu.
Determinant: Číslo spojené s čtvercovou maticí (maticí, která má stejný počet řádků a sloupců).
Inverzní matice: Matice, která při vynásobení původní maticí dává jednotkovou matici.
Transponovaná matice: Matice, která vznikne prohozením řádků a sloupců původní matice.
Typy matic
Nulová matice: Matice, která má všechny prvky rovny nule.
Jednotková matice: Čtvercová matice, která má všechny prvky na hlavní diagonále rovny jedné a všechny ostatní prvky rovny nule.
Symetrická matice: Čtvercová matice, která je stejná jako její transponovaná matice.
Antisymetrická matice: Čtvercová matice, která je opačná ke své transponované matici.
Diagonální matice: Čtvercová matice, která má všechny prvky mimo hlavní diagonálu rovny nule.
Trijangulární matice: Matice, ve které jsou všechny prvky pod (horní trojúhelníková matice) nebo nad (dolní trojúhelníková matice) hlavní diagonálou rovny nule.
Operace s maticemi
Sčítání a odčítání: Matice stejného řádu lze sčítat nebo odečítat prvek po prvku.
Násobení skalárem: Každý prvek matice lze vynásobit skalárem (číslem).
Násobení matic: Matice lze násobit podle následujících pravidel:
```
(A × B)_{ij} = ∑_{k=1}^n A_{ik}B_{kj}
```
Determinant: Determinant čtvercové matice lze vypočítat pomocí různých metod, jako je Laplaceova expanze nebo Gaussova eliminace.
Aplikace matic
Matice mají širokou škálu aplikací v různých oborech, včetně:
Matematika: Řešení systémů lineárních rovnic, reprezentace lineárních transformací a studium abstraktní algebry.
Fyzika: Popis fyzikálních systémů, jako jsou mechanické vibrace, elektromagnetické pole a kvantová mechanika.
Statistika: Analýza dat, vytváření regresních modelů a odhadování parametrů.
Informatika: Reprezentace grafů, datových struktur a algoritmů.
Inženýrství: Modelování a analýza elektrických obvodů, mechanických systémů a konstrukcí.
Historie matic
Koncept matic se poprvé objevil ve starověké Číně v 10. až 2. století př. n. l., kdy se používal k řešení soustav lineárních rovnic. V Evropě byly matice poprvé představeny v 16. století italským matematikem Geronimem Cardanem. Termín "matice" zavedl v roce 1850 James Joseph Sylvester. Matice je dvourozměrné uspořádání čísel, symbolů nebo výrazů, které jsou uspořádány do řádků a sloupců. Matice jsou často používány v matematice, vědě a inženýrství k reprezentaci systémů lineárních rovnic, transformací a dalších matematických objektů.
Matice je definována svým počtem řádků a sloupců. Například matice s 3 řádky a 4 sloupci je označována jako matice 3 × 4. Prvky matice jsou obvykle označovány pomocí zápisu a_{ij}, kde i je index řádku a j je index sloupce. Například prvek v prvním řádku a druhém sloupci matice 3 × 4 by byl označen jako a_{12}.
Matice lze sčítat, odčítat a násobit skaláry a jinými maticemi. Sčítání a odčítání matic stejné velikosti se provádí sčítáním nebo odčítáním odpovídajících prvků. Násobení matice skalárem vynásobí každý prvek matice skalárem. Násobení dvou matic se provádí součinem prvků řádků první matice a prvků sloupců druhé matice.
Matice mají řadu vlastností. Determinant matice je číslo, které je spojeno s maticí a které má zvláštní vlastnosti. Inverzní matice, pokud existuje, je matice, která při vynásobení původní maticí dává jednotkovou matici. Vlastní čísla a vlastní vektory matice jsou čísla a vektory, které mají zvláštní vztah k matici.
Matice mají širokou škálu aplikací. V matematice se používají k řešení systémů lineárních rovnic, k reprezentaci transformací a k definici vektorových prostorů. Ve vědě a inženýrství se používají k modelování fyzikálních systémů, k analýze dat a k řešení problémů optimalizace.
Zde je několik příkladů použití matic:
V lineární algebře se matice používají k reprezentaci lineárních transformací. Lineární transformace je funkce, která mapuje vektorový prostor do sebe sama. Matice lineární transformace obsahuje koeficienty transformace.
V analytické geometrii se matice používají k reprezentaci bodů, čar a rovin. Například bod v trojrozměrném prostoru lze reprezentovat pomocí matice 1 × 3, která obsahuje souřadnice bodu.
Ve statistice se matice používají k reprezentaci kovariančních matic a korelačních matic. Kovarianční matice obsahuje kovariance mezi různými proměnnými, zatímco korelační matice obsahuje korelace mezi různými proměnnými.
V teorii pravděpodobnosti se matice používají k reprezentaci pravděpodobnostních matic. Pravděpodobnostní matice obsahuje pravděpodobnosti různých výsledků experimentu.
V numerické analýze se matice používají k řešení systémů lineárních rovnic a k výpočtu vlastních čísel a vlastních vektorů.
Matice jsou mocným nástrojem pro reprezentaci a řešení široké škály matematických problémů. Jejich všestrannost a aplikovatelnost z nich dělají základní nástroj v mnoha oborech matematiky, vědy a inženýrství.