Analýza je odvětví matematiky, které se zabývá spojitými funkcemi, limity a souvisejícími teoriemi, jako je derivace, integrál, míra, nekonečné posloupnosti, řady a analytické funkce. Tyto teorie se obvykle studují v kontextu reálných a komplexních čísel a funkcí. Analýza se vyvinula z kalkulu, který zahrnuje základní pojmy a techniky analýzy. Analýza se může lišit od geometrie; nicméně lze ji aplikovat na jakýkoli prostor matematických objektů, který má definici blízkosti (topologický prostor) nebo konkrétní vzdálenosti mezi objekty (metrický prostor).
Základní pojmy
Spojitá funkce: Funkce, jejíž graf lze nakreslit bez zvednutí pera.
Limit: Hodnota, ke které se funkce blíží, když se vstupní hodnota blíží k určité hodnotě.
Derivace: Míra změny funkce vzhledem ke změně vstupní hodnoty.
Integrál: Oblast pod grafem funkce.
Míra: Funkce, která přiřazuje každé množině reálné číslo, které představuje její velikost.
Nekonečná posloupnost: Seznam čísel, který pokračuje donekonečna.
Řada: Součet nekonečné posloupnosti.
Analytická funkce: Funkce, kterou lze lokálně vyjádřit jako mocninnou řadu.
Aplikace
Analýza má širokou škálu aplikací ve vědě, inženýrství a dalších oborech. Například:
Fyzika: Analýza se používá k modelování pohybu objektů, šíření vln a dalších fyzikálních jevů.
Chemie: Analýza se používá k modelování chemických reakcí a vlastností látek.
Geovědy: Analýza se používá k modelování zemské atmosféry, oceánů a dalších geofyzikálních jevů.
Výpočetní technika: Analýza se používá k analýze algoritmů a návrhu počítačových systémů.
Biologie: Analýza se používá k modelování růstu populace, šíření nemocí a dalších biologických procesů.
Ekonomie: Analýza se používá k modelování ekonomického růstu, cen a dalších ekonomických jevů.
Historie
Počátky analýzy lze vysledovat až do starověkého Řecka, kde se matematici jako Archimedes a Eudoxos zabývali myšlenkami limitů a nekonečných řad. V 17. století Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz nezávisle na sobě vyvinuli kalkul, který poskytl výkonný rámec pro studium analýzy. V 19. století Augustin Louis Cauchy a Karl Weierstrass položili základy moderní analýzy tím, že poskytli přísné definice pojmů, jako je spojitost a limit.
Současný stav
Analýza je stále aktivní oblastí výzkumu a nové objevy se dělají i dnes. Některé z nejnovějších oblastí výzkumu v analýze zahrnují:
Harmonická analýza: Studium funkcí, které lze vyjádřit jako součet sinusových a kosinových vln.
Funkcionální analýza: Studium prostorů funkcí a operátorů, které na nich působí.
Komplexní analýza: Studium funkcí komplexní proměnné.
Numerická analýza: Studium algoritmů pro řešení matematických problémů pomocí počítačů.