V matematice a teoretické informatice je teorie typů formálním popisem konkrétního typového systému. Teorie typů je akademickým studiem typových systémů. Některé teorie typů slouží jako alternativy k teorii množin jako základu matematiky. Dvě vlivné teorie typů, které byly navrženy jako základy, jsou typovaný λ-kalkul Alonza Churche a intuicionistická teorie typů Pera Martina-Löfa. Většina počítačových systémů pro psaní důkazů používá jako svůj základ teorii typů. Jednou z běžných je Kalkulus induktivních konstrukcí od Thierryho Coquanda.
Typový systém je sada pravidel, která určují, které výrazy v daném jazyce jsou dobře vytvořené. Typový systém může být použit k ověření, zda je výraz platný, tj. zda má smysl. Typové systémy se také používají k odvození vlastností výrazů, například zda jsou pravdivé nebo nepravdivé.
Teorie typů je formální prezentace typového systému. Teorie typů obvykle zahrnuje sadu axiomů, která definuje základní pojmy typového systému, a sadu pravidel odvozování, která umožňují odvozovat nové typy z daných typů.
Teorie typů může být použita k vytvoření formálních základů matematiky. Teorie typů může být použita k definici základních pojmů matematiky, jako jsou čísla, množiny a funkce. Teorie typů může být také použita k formálnímu vyjádření matematických vět.
Teorie typů se používají také v teoretické informatice. Teorie typů může být použita k definování sémantiky programovacích jazyků. Teorie typů může být také použita k ověření, zda je program správný, tj. zda bude fungovat tak, jak bylo zamýšleno.
Existuje mnoho různých teorií typů. Některé z nejběžnějších teorií typů zahrnují:
Jednoduchý typový systém: Jednoduchý typový systém je nejzákladnější typ teorie. Jednoduchý typový systém definuje pouze několik základních typů, jako jsou čísla a řetězce.
Polymorfní typový systém: Polymorfní typový systém je rozšířením jednoduchého typového systému. Polymorfní typový systém umožňuje definovat typy, které mohou být použity s různými hodnotami.
Závislý typový systém: Závislý typový systém je rozšířením polymorfního typového systému. Závislý typový systém umožňuje definovat typy, které závisí na jiných typech.
Teorie typů jsou výkonným nástrojem pro formální reprezentaci a analýzu matematických a informatických pojmů. Teorie typů se používají v široké škále aplikací, včetně základů matematiky, teoretické informatiky a ověřování programů.