Algebraické struktury Teorie grup Základní pojmy Skupina je matematický objekt, který má dvě operace: násobení a inverzi. Násobení spojuje dva prvky skupiny a vytváří třetí prvek, který je také prvkem skupiny. Inverze obrací prvek skupiny a vytváří prvek, který při násobení původním prvkem dává neutrální prvek (jednotku). Podskupina Podskupina je skupina, která je obsažena v jiné skupině. To znamená, že podskupina má stejné operace jako větší skupina a každý prvek podskupiny je také prvkem větší skupiny. Normální podskupina Normální podskupina je podskupina, která komutuje se všemi ostatními prvky skupiny. To znamená, že pro každý prvek skupiny a a pro každý prvek podskupiny b platí, že ab = ba. Kvocientová grupa Kvocientová grupa je skupina, která vznikne rozdělením skupiny její normální podskupinou. To znamená, že kvocientová grupa se skládá z tříd ekvivalence prvků původní skupiny, kde dvě třídy ekvivalence jsou ekvivalentní, pokud se liší pouze o prvek normální podskupiny. (Semi-)přímý součin Přímý součin dvou skupin je skupina, která se skládá ze všech uspořádaných dvojic prvků z původních skupin. Násobení v přímém součinu je definováno tak, že násobení dvou dvojic je dáno násobením prvních prvků dvojic a násobením druhých prvků dvojic. Homomorfismy grup Homomorfismus grup je zobrazení mezi dvěma grupami, které zachovává grupové operace. To znamená, že pokud je f homomorfismus z grupy G do grupy H, pak f(ab) = f(a)f(b) pro všechny prvky a, b z grupy G. Jádro Jádro homomorfismu grup je množina prvků z původní skupiny, které jsou zobrazeny na neutrální prvek cílové skupiny. Obraz Obraz homomorfismu grup je množina prvků z cílové skupiny, které jsou obrazy prvků z původní skupiny. Přímý součet Přímý součet dvou skupin je skupina, která se skládá ze všech uspořádaných dvojic prvků z původních skupin. Násobení v přímém součinu je definováno tak, že násobení dvou dvojic je dáno násobením prvních prvků dvojic a druhých prvků dvojic. Věnec Věnec dvou skupin je skupina, která se skládá ze všech uspořádaných dvojic prvků z původních skupin. Násobení ve věnci je definováno tak, že násobení dvou dvojic je dáno násobením prvních prvků dvojic a druhých prvků dvojic. Jednoduchá Jednoduchá grupa je grupa, která nemá žádné normální podskupiny kromě triviální podskupiny (skupiny obsahující pouze neutrální prvek) a celé skupiny. Konečná Konečná grupa je grupa, která má konečný počet prvků. Nekonečná Nekonečná grupa je grupa, která má nekonečný počet prvků. Spojitá Spojitá grupa je grupa, která je také topologickým prostorem a její grupové operace jsou spojité. Multiplikativní Multiplikativní grupa je grupa, ve které je grupová operace násobení. Aditivní Aditivní grupa je grupa, ve které je grupová operace sčítání. Cyklická Cyklická grupa je grupa, která je generována jedním prvkem. To znamená, že každý prvek cyklické grupy může být získán opakovaným násobením generujícího prvku. Abeliovská Abeliovská grupa je grupa, ve které komutuje násobení. To znamená, že pro všechny prvky a, b z abeliovské grupy platí, že ab = ba. Dihedrální Dihedrální grupa je grupa symetrií pravidelného mnohoúhelníku. Nilpotentní Nilpotentní grupa je grupa, která má všechny své komutátory rovny neutrálnímu prvku. Komutátor dvou prvků a, b je definován jako ab^-1b^-1a. Řešitelná Řešitelná grupa je grupa, která má řadu normálních podskupin, kde každá podskupina v řadě je normální podskupinou předchozí podskupiny a poslední podskupina v řadě je triviální podskupina. Působení Působení skupiny na množinu je zobrazení z grupy do permutační grupy množiny. To znamená, že pro každý prvek skupiny a a pro každý prvek množiny x je a(x) prvek množiny. Topologické grupy Topologické grupy jsou skupiny, které jsou také topologickými prostory. To znamená, že mají topologii, která určuje, které podmnožiny skupiny jsou otevřené. Topologické grupy jsou důležité ve funkcionální analýze a v teorii reprezentací grup.
Facebook Twitter