Abelovy kategorie
V matematice je Abelova kategorie kategorií, ve které lze sčítat morfismy a objekty a ve které existují jádra a kokerny s žádoucími vlastnostmi. Motivujícím prototypickým příkladem Abelovy kategorie je kategorie Abelových grup, Ab. Abelovy kategorie jsou velmi stabilní kategorie; jsou například regulární a splňují hadí lemma. Třída Abelových kategorií je uzavřená pod několika kategoriálními konstrukcemi, například kategorie řetězových komplexů Abelovy kategorie nebo kategorie funktorů z malé kategorie do Abelovy kategorie jsou také Abelovy. Tyto vlastnosti stability je činí nezbytnými v homologické algebře a dalších oblastech; teorie má hlavní aplikace v algebraické geometrii, kohomologii a čisté teorii kategorií.
Mac Lane říká, že Abelovu kategorii definoval Alexander Grothendieck, ale existuje odkaz, který říká, že Eilenbergův žák Buchsbaum navrhl tento koncept ve své doktorské práci a Grothendieck jej popularizoval pod názvem „Abelova kategorie“.
Definice
Kategorie je Abelova, pokud je preaditivní a má nulový objekt, má všechny binární biprodukty, má všechna jádra a kokerny a všechny monomorfismy a epimorfismy jsou normální.
Tato definice je ekvivalentní s následující „postupnou“ definicí:
Kategorie je preaditivní, pokud je obohacena o monoidní kategorii Ab Abelových grup. To znamená, že všechny hom-množiny jsou Abelovy grupy a složení morfismů je bilineární.
Preaditivní kategorie je aditivní, pokud má každá konečná množina objektů biprodukt. To znamená, že můžeme vytvořit konečné přímé součty a přímé součiny.
V definici 1.2.6 se vyžaduje, aby aditivní kategorie měla nulový objekt (prázdný biprodukt).
Aditivní kategorie je preabelovská, pokud má každý morfismus jádro i kokernel.
Nakonec je preabelovská kategorie Abelova, pokud je každý monomorfismus a každý epimorfismus normální. To znamená, že každý monomorfismus je jádrem nějakého morfismu a každý epimorfismus je kokernem nějakého morfismu.
Všimněte si, že obohacená struktura na hom-množinách je důsledkem prvních tří axiomů první definice. To zdůrazňuje základní význam kategorie Abelových grup v teorii a její kanonickou povahu. V tomto nastavení se přirozeně objevuje pojem exaktné posloupnosti a ukazuje se, že exaktné funktory, tj. funktory zachovávající exaktné posloupnosti v různých smyslech, jsou relevantními funktory mezi Abelovými kategoriemi. Tento pojem exaktnosti byl axiomatizován v teorii exaktných kategorií, které tvoří velmi zvláštní případ regulárních kategorií.
Příklady
Jak bylo uvedeno výše, kategorie všech Abelových grup je Abelova kategorie. Kategorie všech konečně generovaných Abelových grup je také Abelova kategorie, stejně jako kategorie všech konečných Abelových grup.
Je-li R okruh, pak kategorie všech levých (nebo pravých) modulů nad R je Abelova kategorie. Ve skutečnosti lze ukázat, že každá malá Abelova kategorie je ekvivalentní s plnou podkategorií takové kategorie modulů (Mitchellova věta o vložení).
Je-li R levý noetherovský okruh, pak kategorie konečně generovaných levých modulů nad R je Abelova. Zejména kategorie konečně generovaných modulů nad noetherovským komutativním okruhem je Abelova; tímto způsobem se Abelovy kategorie objevují v komutativní algebře.
Jako zvláštní případy dvou předchozích příkladů: kategorie vektorových prostorů nad pevným tělesem k je Abelova, stejně jako kategorie konečněrozměrných vektorových prostorů nad k.
Je-li X topologický prostor, pak kategorie všech (reálných nebo komplexních) vektorových svazků na X obvykle není Abelova kategorie, protože mohou existovat monomorfismy, které nejsou jádry.
Je-li X topologický prostor, pak kategorie všech snopů Abelových grup na X je Abelova kategorie. Obecněji řečeno, kategorie snopů Abelových grup na Grothendieckově lokalitě je Abelova kategorie. Tímto způsobem se Abelovy kategorie objevují v algebraické topologii a algebraické geometrii.
Je-li C malá kategorie a A Abelova kategorie, pak kategorie všech funktorů z C do A tvoří Abelovu kategorii. Je-li C malá a preaditivní, pak kategorie všech aditivních funktorů z C do A také tvoří Abelovu kategorii. Ta druhá je zobecněním příkladu R-modulu, protože okruh lze chápat jako preaditivní kategorii s jediným objektem.
Grothendieckova axiomata
Ve svém článku Tohoku uvedl Grothendieck čtyři další axiomy (a jejich duály), které může Abelova kategorie A splňovat. Tato axiomata jsou dodnes běžně používána. Jsou následující:
AB3) Pro každou indexovanou rodinu (Ai) objektů A existuje v A koprodukt
Ai (tj. A je kokompletní).
AB4) A splňuje AB3) a koprodukt rodiny monomorfismů je monomorfismus.
AB5) A splňuje AB3) a filtrované kokolimity exaktných posloupností jsou exaktné.
a jejich duály
AB3
) Pro každou indexovanou rodinu (Ai) objektů A existuje v A produkt PAi (tj. A je kompletní).
AB4
) A splňuje AB3
) a produkt rodiny epimorfismů je epimorfismus.
AB5
) A splňuje AB3
) a filtrované limity exaktných posloupností jsou exaktné.
Byly uvedeny také axiomy AB1) a AB2). Ty činí aditivní kategorii Abelovskou. Konkrétně:
AB1) Každý morfismus má jádro a kokernel.
AB2) Pro každý morfismus f je kanonický morfismus z coim f do im f izomorfismus.
Grothendieck uvedl také axiomy AB6) a AB6
).
AB6) A splňuje AB3) a vzhledem k rodině filtrovaných kategorií Ij, j ∈ J a mapám Aj: Ij → A, máme ∏j∈J limIjAj = limIj, ∀ j ∈ J ∏j∈JAj, kde lim označuje filtrovanou kokolimitu.
AB6
) A splňuje AB3
) a vzhledem k rodině kofiltračních kategorií Ij, j ∈ J a mapám Aj: Ij → A, máme ∑j∈J limIjAj = limIj, ∀ j ∈ J ∑j∈JAj, kde lim označuje kofiltrační limitu.
Elementární vlastnosti
Pro každou dvojici A, B objektů v Abelově kategorii existuje speciální nulový morfismus z A do B. To lze definovat jako nulový prvek hom-množiny Hom(A, B), protože se jedná o Abelovu grupu. Alternativně jej lze definovat jako jedinečnou kompozici A → 0 → B, kde 0 je nulový objekt Abelovy kategorie.
V Abelově kategorii lze každý morfismus f zapsat jako kompozici epimorfismu následovaného monomorfismem. Tento epimorfismus se nazývá kobraz f, zatímco monomorfismus se nazývá obraz f.
Podobjekty a kvocientové objekty se v Abelových kategoriích chovají dobře. Například uspořádaná množina podobjektů libovolného daného objektu A je omezená mřížka.
Každá Abelova kategorie A je modulem nad monoidní kategorií konečně generovaných Abelových grup; to znamená, že můžeme vytvořit tenzorový součin konečně generované Abelovy grupy G a libovolného objektu A z A. Abelova kategorie je také komodul; Hom(G, A) lze interpretovat jako objekt A. Je-li A kompletní, můžeme odstranit požadavek, aby G byla konečně generovaná; obecněji řečeno, můžeme v A vytvořit konečné obohacené limity.
Související koncepty
Abelovy kategorie jsou nejobecnějším prostředím pro homologickou algebru. Jsou relevantní všechny konstrukce používané v tomto oboru, jako jsou exaktné posloupnosti a zejména krátké exaktné posloupnosti a odvozené funktory. Mezi důležité věty, které platí ve všech Abelových kategoriích, patří pětilema (a jako speciální případ krátké pětilema) a hadí lemma (a jako speciální případ devítilema).
Semi-jednoduché Abelovy kategorie
Hlavní článek: Semi-jednoduchost
Abelova kategorie A se nazývá semi-jednoduchá, pokud existuje sbírka objektů {Xi}i∈I∈Ob(A) nazývaných jednoduché objekty (což znamená, že jedinými podobjekty libovolného Xi jsou nulový objekt 0 a on sám) tak, že objekt X∈Ob(A) lze rozložit jako přímý součet (označující koprodukt Abelovy kategorie)
X≅⨁i∈IXi
Tato technická podmínka je poměrně silná a vylučuje mnoho přirozených příkladů Abelových kategorií nalezených v přírodě. Například většina kategorií modulů nad okruhem R není semi-jednoduchá; ve skutečnosti tomu tak je právě tehdy, když je R semi-jednoduchý okruh.
Příklady
Některé Abelovy kategorie nalezené v přírodě jsou semi-jednoduché, jako například
Kategorie vektorových prostorů Vect(k) nad pevným tělesem k.
Podle Maschkeho věty je kategorie reprezentací Repk(G) konečné grupy G nad tělesem k, jehož charakteristika nedělí |G|, semi-jednoduchá Abelova kategorie.
Kategorie koherentních snopů na noetherovském schématu je semi-jednoduchá právě tehdy, když je X konečná disjunktní unie ireducibilních bodů. To odpovídá konečnému koproduktu kategorií vektorových prostorů nad různými tělesy. Ukázat, že to platí ve směru vpřed, je ekvivalentní s ukázáním, že všechny Ext1 skupiny mizí, což znamená, že kohomologická dimenze je 0. To se děje pouze tehdy, když snopy mrakodrapů kx v bodě x∈X mají Zariského tečný prostor rovný nule, což je izomorfní s Ext1(kx,kx) pomocí lokální algebry pro takové schéma.
Nepříklady
Existují některé přirozené protipříklady Abelových kategorií, které nejsou semi-jednoduché, jako jsou například určité kategorie reprezentací. Například kategorie reprezentací Lieovy grupy (R,+) má reprezentaci a ↦ [1 a 0 1], která má pouze jednu podreprezentaci dimenze 1. Ve skutečnosti to platí pro každou unipotentní skupinu pg 112.
Podkategorie Abelových kategorií
V přírodě se vyskytuje mnoho typů (plných, aditivních) podkategorií Abelových kategorií, stejně jako některá protichůdná terminologie. Nechť A je Abelova kategorie, C plná, aditivní podkategorie a I inkluzní funktor.
C je přesná podkategorie, pokud je sama přesnou kategorií a inkluze I je přesným funktorem. To nastane právě tehdy, když je C uzavřená pod pullbacky epimorfismů a pushouty monomorfismů. Přesné posloupnosti v C jsou tedy přesné posloupnosti v A, pro které všechny objekty leží v C.
C je Abelova podkategorie, pokud je sama Abelovou kategorií a inkluze I je přesným funktorem. To nastane právě tehdy, když je C uzavřená pod braním jader a kokernelů. Upozorňujeme, že existují příklady plných podkategorií Abelovy kategorie, které jsou samy Abelovy, ale kde inkluzní funktor není přesný, takže nejsou Abelovskými podkategoriemi (viz níže).
C je silná podkategorie, pokud je uzavřená pod braním přímých sčítanců a splňuje vlastnost 2 ze 3 pro krátké přesné posloupnosti; tj. pokud je
0→M′→M→M″→0
krátká přesná posloupnost v A taková, že dvě z M′, M, M″ leží v C, pak totéž platí i pro třetí. Jinými slovy, C je uzavřená pod jádry epimorfismů, kokernelů monomorfismů a extenzí. Upozorňujeme, že P. Gabriel použil termín silná podkategorie k popisu toho, co zde nazýváme Serreova podkategorie.
C je topologizující podkategorie, pokud je uzavřená pod subkvocienty.
C je Serreova podkategorie, pokud pro všechny krátké přesné posloupnosti
0→M′→M→M″→0
v A máme M v C právě tehdy, když jsou v C oba M′, M″. Jinými slovy, C je uzavřená pod extenzemi a subkvocienty. Tyto podkategorie jsou přesně jádry přesných funktorů z A do jiné Abelovy kategorie.
C je lokalizující podkategorie, pokud je Serreovou podkategorií takovou, že kvocientový funktor Q:A→A/C připouští pravého adjungovaného.
Existují dva konkurenční pojmy široké podkategorie. Jedna verze je, že C obsahuje každý objekt A (až po izomorfismus); pro plnou podkategorii to samozřejmě není zajímavé. (Toto se také nazývá lluf podkategorie.) Druhá verze je, že C je uzavřená pod extenzemi.
Zde je explicitní příklad plné, aditivní podkategorie Abelovy kategorie, která je sama Abelova, ale inkluzní funktor není přesný. Nechť k je těleso, Tn algebra horních trojúhelníkových n×n matic nad k a An kategorie konečně dimenzionálních Tn-modulů. Pak každý An je Abelova kategorie a máme inkluzní funktor I:A2→A3 identifikující jednoduché projektivní, jednoduché injektivní a nerozložitelné projektivně-injektivní moduly. Esenciální obraz I je plná, aditivní podkategorie, ale I není přesná.
Historie
Abelovy kategorie zavedli Buchsbaum (1955) (pod názvem „přesná kategorie“) a Grothendieck (1957), aby sjednotili různé teorie kohomologií. V té době existovala teorie kohomologie pro snopy a teorie kohomologie pro grupy. Obě byly definovány odlišně, ale měly podobné vlastnosti. Ve skutečnosti byla velká část teorie kategorií vyvinuta jako jazyk pro studium těchto podobností. Grothendieck sjednotil obě teorie: obě vznikají jako odvozené funktory na Abelových kategoriích; Abelova kategorie snopů Abelových grup na topologickém prostoru a Abelova kategorie G-modulů pro danou grupu G.
Viz také
Triangulovaná kategorie
Odkazy
↑ Mac Lane, Saunders (2013-04-17). Kategorie pro pracujícího matematika. Postgraduální texty z matematiky. Sv. 5 (druhé vydání). Springer Science+Business Media. str. 205. ISBN 978-1-4757-4721-8.
↑ Grothendieck (1957)
↑ David Eisenbud a Jerzy Weyman. "MEMORIAL TRIBUTE Vzpomínka na Davida Buchsbauma" (PDF). Americká matematická společnost. Citováno 2023-12-22.
↑ Buchsbaum (1955)
↑ Peter Freyd, Abelovy kategorie
↑ Příručka kategorické algebry, sv. 2, F. Borceux
↑ "algebraická geometrie - Tečný prostor v bodě a první Ext skupina". Matematická burza zásobníku. Citováno 2020-08-23.
↑ Humphreys, James E. (2004). Lineární algebraické grupy. Springer. ISBN 0-387-90108-6. OCLC 77625833.
Buchsbaum, David A. (1955), "Přesné kategorie a dualita", Transactions of the American Mathematical Society, 80 (1): 1–34, doi : 10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6, ISSN 0002-9947, JSTOR 1993003, MR 0074407
Freyd, Peter (1964), Abelovy kategorie, New York: Harper and Row
Grothendieck, Alexander (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", Tohoku Mathematical Journal, Second Series, 9: 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839, ISSN 0040-8735, MR 0102537
Mitchell, Barry (1965), Teorie kategorií, Boston, MA: Academic Press
Popescu, Nicolae (1973), Abelovy kategorie s aplikacemi na okruhy a moduly, Boston, MA: Academic Press