Teorie konečných deformací – také nazývaná teorie velkých deformací – se v kontinuu zabývá deformacemi, ve kterých jsou deformace a/nebo rotace natolik velké, že zneplatňují předpoklady vlastní teorii nekonečně malých deformací. V tomto případě se nedeformovaná a deformovaná konfigurace kontinua výrazně liší, což vyžaduje mezi nimi jasné rozlišení. To je běžné u elastomerů, plasticky deformovatelných materiálů a dalších tekutin a měkkých biologických tkání.
Základní pojmy
Deformační gradient
Deformační gradient F je tenzor druhého řádu, který popisuje deformaci materiálu. Je definován jako gradient deformační funkce φ, která mapuje nedeformované souřadnice X na deformované souřadnice x:
```
F = ∇φ = ∂φ/∂X
```
Tenzor Green-Lagrange'ovy deformace
Tenzor Green-Lagrange'ovy deformace E je symetrický tenzor druhého řádu, který měří čtverec deformace materiálu. Je definován jako:
```
E = (FᵀF - I)/2
```
kde I je jednotkový tenzor.
Tenzor Almansi-Hameltovy deformace
Tenzor Almansi-Hameltovy deformace A je symetrický tenzor druhého řádu, který měří čtverec deformace materiálu v deformované konfiguraci. Je definován jako:
```
A = (I - F⁻¹Fᵀ)/2
```
Hlavní invarianty deformace
Hlavní invarianty deformace I₁, I₂, I₃ jsou tři skalární veličiny, které charakterizují deformaci materiálu. Jsou definovány jako:
```
I₁ = tr(E)
I₂ = 1/2(tr(E)² - tr(E²))
I₃ = det(E)
```
kde tr označuje stopu tenzoru.
Konstitutivní rovnice
Konstitutivní rovnice popisují vztah mezi napětím a deformací materiálu. V teorii konečných deformací se konstitutivní rovnice obecně vyjadřují pomocí tenzorů Piola-Kirchhoffa.
Tenzor Piola-Kirchhoffa prvního typu
Tenzor Piola-Kirchhoffa prvního typu P je symetrický tenzor druhého řádu, který popisuje napětí v nedeformované konfiguraci. Je definován jako:
```
P = J⁻¹Fσ
```
kde J je determinant deformačního gradientu, σ je Cauchyho tenzor napětí v deformované konfiguraci.
Tenzor Piola-Kirchhoffa druhého typu
Tenzor Piola-Kirchhoffa druhého typu S je symetrický tenzor druhého řádu, který popisuje napětí v deformované konfiguraci. Je definován jako:
```
S = JσF⁻ᵀ
```
Numerická analýza
Numerická analýza konečných deformací je náročná kvůli nelineární povaze konstitutivních rovnic. K řešení těchto rovnic se často používají metody konečných prvků nebo metody konečných rozdílů.
Aplikace
Teorie konečných deformací se používá v široké škále aplikací, včetně:
Analýza elastomerů a plasticky deformovatelných materiálů
Modelování měkkých biologických tkání
Analýza kontaktních problémů
Numerická simulace tváření kovů a dalších výrobních procesů