Lokální těleso
V matematice se těleso K nazývá (nearchimédovským) lokálním tělesem, pokud je úplné vzhledem k topologii indukované diskrétním ohodnocením v a pokud je jeho zbytkové těleso k konečné. [1] Ekvivalentně je lokální těleso lokálně kompaktní topologické těleso vzhledem k nediskrétní topologii. [2] Někdy jsou reálná čísla R a komplexní čísla C (s jejich standardními topologiemi) také definována jako lokální tělesa; toto je konvence, kterou přijmeme níže.
U daného lokálního tělesa může být na něm definované ohodnocení dvou typů, z nichž každý odpovídá jednomu ze dvou základních typů lokálních těles: těm, u nichž je ohodnocení archimédovské, a těm, u nichž tomu tak není. V prvním případě nazýváme lokální těleso archimédovským lokálním tělesem, ve druhém případě jej nazýváme nearochimédovským lokálním tělesem. [3] Lokální tělesa vznikají přirozeně v teorii čísel jako doplnění globálních těles. [4] Zatímco archimédovská lokální tělesa jsou v matematice dobře známá nejméně 250 let, první příklady nearochimédovských lokálních těles, těles p-adických čísel pro kladné prvočíslo p, zavedl Kurt Hensel na konci 19. století.
Každé lokální těleso je izomorfní (jako topologické těleso) jednomu z následujících: [3]
Archimédovská lokální tělesa (charakteristika nula): reálná čísla R a komplexní čísla C.
Nearochimédovská lokální tělesa charakteristiky nula: konečné rozšíření p-adických čísel Qp (kde p je libovolné prvočíslo).
Nearochimédovská lokální tělesa charakteristiky p (pro p jakékoli dané prvočíslo): těleso formálních Laurentových řad Fq((T)) nad konečným tělesem Fq, kde q je mocnina p.
Ze jména je patrné, že nearochimédovská lokální tělesa nesplňují Archimédovu vlastnost.
Zvláště důležité v teorii čísel jsou třídy lokálních těles, které se objevují jako doplnění algebraických číselných těles vzhledem k jejich diskrétnímu ohodnocení odpovídajícímu jednomu z jejich maximálních ideálů. Výzkumné práce v moderní teorii čísel často uvažují obecnější pojem, který vyžaduje pouze, aby zbytkové těleso bylo dokonalé kladné charakteristiky, ne nutně konečné. [5] Tento článek používá dřívější definici.