Pole
Pole je v matematice množina, na které jsou definovány operace sčítání, odčítání, násobení a dělení, které se chovají stejně jako odpovídající operace na racionálních a reálných číslech. Pole je tedy základní algebraická struktura, která je široce používána v algebře, teorii čísel a mnoha dalších oblastech matematiky.
Neznámější pole jsou pole racionálních čísel, pole reálných čísel a pole komplexních čísel. V matematice, zejména v teorii čísel a algebraické geometrii, se běžně používají a studují i mnohá další pole, jako jsou pole racionálních funkcí, pole algebraických funkcí, pole algebraických čísel a p-adická pole. Většina protokolů se spoléhá na konečná pole, tj. pole s konečně mnoha prvky.
Teorie polí dokazuje, že trisekce úhlu a kvadratura kruhu nelze provést pomocí kružítka a pravítka. Galoisova teorie, která se zabývá pochopením symetrií rozšíření polí, poskytuje elegantní důkaz Abelovy-Ruffiniho věty, že obecné kvintické rovnice nelze řešit v radikálech.
Pole slouží jako základní pojmy v několika matematických oblastech. To zahrnuje různé větve matematické analýzy, které jsou založeny na polích s další strukturou. Základní věty v analýze se opírají o strukturální vlastnosti pole reálných čísel. Nejdůležitější je, že pro algebraické účely lze jakékoli pole použít jako základ pro vektorový prostor, což je standardní obecný kontext pro lineární algebru. Číselná pole, sourozenci pole racionálních čísel, jsou podrobně studována v teorii čísel. Funkční pole mohou pomoci popsat vlastnosti geometrických objektů.
Vlastnosti polí
Pole se vyznačuje následujícími vlastnostmi:
Komutativita sčítání a násobení: Pro všechna a, b v poli platí a + b = b + a a a
b = b
a.
Asociativita sčítání a násobení: Pro všechna a, b, c v poli platí (a + b) + c = a + (b + c) a (a
b)
c = a
(b
c).
Distributivita násobení vůči sčítání: Pro všechna a, b, c v poli platí a
(b + c) = a
b + a
c.
Existenze neutrálních prvků: Existují dva prvky pole, 0 (nazývaný nulový prvek) a 1 (nazývaný jednotkový prvek), takové, že pro všechna a v poli platí a + 0 = a a a
1 = a.
Existenze inverzních prvků: Pro každý nenulový prvek a v poli existuje prvek a^-1 (nazývaný inverzní prvek), takový, že a + a^-1 = 0 a a
a^-1 = 1.
Příklady polí
Pole racionálních čísel, které se skládá ze všech čísel, která lze vyjádřit jako p/q, kde p a q jsou celá čísla a q ≠ 0.
Pole reálných čísel, které se skládá ze všech čísel, která lze vyjádřit jako desetinná čísla.
Pole komplexních čísel, které se skládá ze všech čísel, která lze vyjádřit jako a + bi, kde a a b jsou reálná čísla a i je imaginární jednotka, která splňuje i^2 = -1.
Pole konečné, které se skládá z konečného počtu prvků. Například pole se dvěma prvky {0, 1} je pole, ve kterém jsou operace sčítání a násobení definovány následujícím způsobem:
```
+ | 0 | 1
--|---|---|
0 | 0 | 1
1 | 1 | 0
```
```
| 0 | 1
--|---|---|
0 | 0 | 0
1 | 0 | 1
```
Použití polí
Pole se používají v široké škále matematických aplikací, včetně:
Algebra: Pole jsou základní strukturou pro studium grup, okruhů a dalších algebraických struktur.
Teorie čísel: Pole čísel jsou studována v teorii čísel, která se zabývá vlastnostmi celých čísel.
Geometria: Funkční pole se používají k popisu vlastností geometrických objektů.
Analýza: Reálná a komplexní čísla jsou základními poli pro matematickou analýzu.
Kryptografie: Konečná pole se používají v kryptografii k zajištění bezpečnosti dat.
Rozšíření polí
Rozšíření pole je větší pole, které obsahuje menší pole. Rozšíření pole se používá k rozšíření struktury pole o nové prvky nebo operace. Například komplexní čísla jsou rozšířením pole reálných čísel a pole algebraických čísel je rozšířením pole racionálních čísel.