Vektorový počet (také vektorová analýza) je odvětví matematiky, které má praktické aplikace ve fyzice a inženýrství. Zabývá se diferenciací a integrací vektorových polí, především v trojrozměrném euklidovském prostoru R3.
Pojem vektorový počet se někdy používá jako synonymum pro obecnější předmět vícerozměrného počtu, který zahrnuje vektorový počet, stejně jako parciální diferenciaci a vícerozměrnou integraci.
Vektorový počet hraje důležitou roli v diferenciální geometrii a ve studiu parciálních diferenciálních rovnic. Je široce používán ve fyzice a inženýrství, zejména při popisu elektromagnetických polí, gravitačních polí a proudění tekutin.
Vektorový počet byl vyvinut z kvaternionové analýzy J. Willard Gibbs a Oliver Heaviside na konci 19. století a většina notace a terminologie byla stanovena Gibbsem a Edwin Bidwell Wilsonem v jejich knize Vector Analysis z roku 1901.
V běžné podobě používající vektorový součin se vektorový počet nevztahuje na vyšší dimenze, zatímco alternativní přístup geometrické algebry, který používá vnější součiny, ano (viz § Obecnosti níže).
Definice
Vektorové pole je přiřazení vektoru každému bodu v oblasti.
Gradient skalární funkce je vektorové pole, jehož složky jsou parciální derivace funkce.
Divergence vektorového pole je skalární funkce, která měří „zdroj“ nebo „pohlcovač“ pole v každém bodě.
Roto vektorového pole je vektorové pole, které měří „otáčení“ pole v každém bodě.
Laplacián skalární funkce je skalární funkce, která je divergencí gradientu funkce.
Věty
Gradientní věta uvádí, že integrál gradientu skalární funkce přes křivku je roven rozdílu hodnot funkce v koncových bodech křivky.
Věta o divergenci uvádí, že integrál divergence vektorového pole přes oblast je roven toku pole přes hranici oblasti.
Věta o rotaci uvádí, že integrál rotace vektorového pole přes povrch je roven cirkulaci pole kolem hranice povrchu.
Věta o Stokesově zobecňuje věty o divergenci a rotaci na vyšší dimenze.
Obecnosti
Vektorový počet lze zobecnit na vyšší dimenze pomocí diferenciálních forem. Diferenciální formy jsou geometrické objekty, které lze použít k reprezentaci vektorových polí, gradientů, divergencí a rotů.
Vektorový počet lze také zobecnit na zakřivené plochy a potrubí pomocí tečkového a vnějšího součinu.
Aplikace
Vektorový počet má širokou škálu aplikací ve fyzice a inženýrství, včetně:
Popis elektromagnetických polí
Popis gravitačních polí
Popis proudění tekutin
Analýza napětí a deformací v pevných látkách
Modelování pohybu částic