Geometrický počet
Geometrický počet rozšiřuje geometrickou algebru o diferenciaci a integraci. Formalismus je mocný a může být prokázáno, že zahrnuje další matematické teorie, včetně vektorového počtu, diferenciální geometrie a diferenciálních forem. [1]
Definice
Derivace (generalizace): Derivace je operace, která mapuje funkci na její derivaci.
Diferenciál infinitesimální funkce: Diferenciál funkce je lineární aproximace změny funkce v daném bodě.
Celkový diferenciál funkce: Celkový diferenciál funkce je lineární aproximace změny funkce ve všech směrech v daném bodě.
Koncepty
Notace diferenciace: Derivace funkce f(x) se obvykle značí jako f'(x) nebo dy/dx.
Druhá derivace: Druhá derivace funkce f(x) je derivace její první derivace a obvykle se značí jako f''(x) nebo d^2y/dx^2.
Implicitní diferenciace: Implicitní diferenciace je technika pro nalezení derivace funkce, která je implicitně definována rovnicí.
Logaritmická diferenciace: Logaritmická diferenciace je technika pro nalezení derivace funkce, která zahrnuje logaritmus.
Související rychlosti: Související rychlosti jsou rychlosti, kterými se mění dvě nebo více souvisejících veličin.
Taylorova věta: Taylorova věta je matematická věta, která poskytuje aproximaci funkce jako polynomu.
Pravidla a identity
Součtové pravidlo: Derivace součtu dvou funkcí je součtem jejich derivací.
Pravidlo pro součin: Derivace součinu dvou funkcí je součin první funkce a derivace druhé funkce plus součin druhé funkce a derivace první funkce.
Řetězové pravidlo: Derivace složené funkce je součin derivace vnější funkce a derivace vnitřní funkce.
Mocninná pravidlo: Derivace x^n je nx^(n-1).
Kvocientové pravidlo: Derivace podílu dvou funkcí je (jmenovatel
derivace čitatele - čitatel
derivace jmenovatele) / jmenovatel na druhou.
L'Hôpitalovo pravidlo: L'Hôpitalovo pravidlo je technika pro nalezení limity podílu dvou funkcí, když limit čitatele a jmenovatele je 0 nebo nekonečno.
Inverzní pravidlo: Derivace inverzní funkce je 1 děleno derivací původní funkce.
Obecné pravidlo Leibnizova: Leibnizovo pravidlo poskytuje vzorec pro derivaci n-té derivace součinu dvou funkcí.
Faà di Brunoův vzorec: Faà di Brunoův vzorec poskytuje vzorec pro derivaci n-té derivace složené funkce.
Reynoldsova pravidla: Reynoldsova pravidla poskytují vzorce pro derivace různých typů parciálních derivací.
Integrály
Definice
Antiderivát: Antiderivát funkce je funkce, jejíž derivace je původní funkce.
Integrál (nesprávný): Integrál funkce je limit součtu nekonečného počtu oblastí pod křivkou funkce.
Riemannův integrál: Riemannův integrál je typ integrálu, který rozděluje interval integrace na podintervaly a aproximuje oblast pod křivkou jako součet oblastí obdélníků.
Lebesgueův integrál: Lebesgueův integrál je typ integrálu, který je definován pomocí teorie míry.
Integrál podél křivky: Integrál podél křivky je integrál funkce vzhledem k délce křivky.
Integrál po částech: Integrál po částech je technika pro nalezení integrálu součinu dvou funkcí.
Disky: Metoda disků je technika pro nalezení objemu rotačního tělesa.
Válcové skořepiny: Metoda válcových skořepin je technika pro nalezení objemu rotačního tělesa.
Substituce: Substituce je technika pro nalezení integrálu funkce, která je složena s jinou funkcí.
Eulerův vzorec: Eulerův vzorec poskytuje vzorec pro integraci trigonometrických funkcí.
Parciální zlomky: Parciální zlomky jsou technika pro rozklad racionální funkce na součet jednodušších funkcí.
Změna pořadí: Změna pořadí je technika pro nalezení integrálu funkce, která zahrnuje absolutní hodnotu.
Redukční vzorce: Redukční vzorce poskytují vzorce pro nalezení integrálů určitých typů funkcí.
Diferenciace pod znaménkem integrálu: Diferenciace pod znaménkem integrálu je technika pro nalezení derivace funkce, která je definována jako integrál.
Rischův algoritmus: Rischův algoritmus je algoritmus pro nalezení antiderivátu elementární funkce.
Řady
Geometrická řada: Geometrická řada je řada, ve které je každý člen násobkem předchozího členu.
Aritmeticko-geometrická řada: Aritmeticko-geometrická řada je řada, ve které je každý člen aritmetickým průměrem předchozího a následujícího členu.
Harmonická řada: Harmonická řada je řada, ve které je každý člen převrácenou hodnotou přirozeného čísla.
Alternující řada: Alternující řada je řada, ve které se znaménka členů střídají.
Mocninná řada: Mocninná řada je řada, ve které je každý člen mocninou nezávislé proměnné.
Binomická řada: Binomická řada je řada, ve které je každý člen mocninou binomického výrazu.
Taylorova řada: Taylorova řada je řada, ve které je každý člen odvozen od derivace funkce v daném bodě.
Testy konvergence
Limitní test (test termínu): Limitní test určuje, zda řada konverguje nebo diverguje, porovnáním limitu členů řady s nulou.
Poměrový test: Poměrový test určuje, zda řada konverguje nebo diverguje, porovnáním limitu poměru dvou po sobě jdoucích členů řady s nulou.
Kořenový test: Kořenový test určuje, zda řada konverguje nebo diverguje, porovnáním limitu n-té odmocniny absolutní hodnoty n-tého členu řady s nulou.
Integrální test: Integrální test určuje, zda řada konverguje nebo diverguje, porovnáním integrálu funkce s řadou.
Test přímého porovnání: Test přímého porovnání určuje, zda řada konverguje nebo diverguje, porovnáním řady s jinou řadou, o které je známo, že konverguje nebo diverguje.
Test porovnání limit: Test porovnání limit určuje, zda řada konverguje nebo diverguje, porovnáním limitu členů řady s limitem členů jiné řady, o které je známo, že konverguje nebo diverguje.
Alternující řadový test: Alternující řadový test určuje, zda alternující řada konverguje nebo diverguje, porovnáním absolutních hodnot členů řady.
Cauchyho kondenzační test: Cauchyho kondenzační test určuje, zda řada konverguje nebo diverguje, porovnáním řady s řadou, která vznikne sečtením všech členů řady.
Dirichletovův test: Dirichletovův test určuje, zda řada konverguje nebo diverguje, porovnáním řady s řadou, která vznikne sečtením absolutních hodnot členů řady.
Abelův test: Abelův test určuje, zda řada konverguje nebo diverguje, porovnáním řady s řadou, která vznikne sečtením součinu členů řady s členy monotónně klesající posloupnosti.
Vektorový počet
Definice
Gradient: Gradient skalární funkce je vektor, který ukazuje směr největšího nárůstu funkce.
Divergence: Divergence vektorového pole je míra toho, jak moc se vektorové pole rozšiřuje nebo smršťuje.
Curl: Curl vektorového pole je vektor, který ukazuje směr a velikost cirkulace vektorového pole.
Laplacián: Laplacián skalární funkce je divergen