Normální vektorový prostor
Normální vektorový prostor je vektorový prostor nad reálnými nebo komplexními čísly, na kterém je definována norma. Norma je zobecněním intuitivního pojmu "délky" ve fyzickém světě.
Pokud je V vektorový prostor nad K, kde K je těleso rovné R (reálná čísla) nebo C (komplexní čísla), pak je norma na V zobrazení V → R, obvykle označované jako || ⋅ ||, které splňuje následující čtyři axiomy:
Nezápornost: Pro každé x ∈ V platí ||x|| ≥ 0.
Pozitivní určitost: Pro každé x ∈ V platí ||x|| = 0 právě tehdy, když x je nulový vektor.
Absolutní homogenita: Pro každé λ ∈ K a x ∈ V platí ||λx|| = |λ| ||x||.
Trojúhelníková nerovnost: Pro každé x ∈ V a y ∈ V platí ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
Pokud je V reálný nebo komplexní vektorový prostor jako výše a || ⋅ || je norma na V, pak uspořádaná dvojice (V, || ⋅ ||) se nazývá normální vektorový prostor. Pokud je z kontextu jasné, která norma je myšlena, je běžné označit normální vektorový prostor jednoduše jako V.
Norma indukuje vzdálenost, nazývanou její (normou) indukovaná metrika, podle vzorce d(x, y) = ||y - x||. To dělá z každého normálního vektorového prostoru metrický prostor a topologický vektorový prostor. Pokud je tento metrický prostor úplný, pak je normální prostor Banachův prostor.
Každý normální vektorový prostor může být "jednoznačně rozšířen" na Banachův prostor, což činí normální prostory úzce související s Banachovými prostory. Každý Banachův prostor je normální prostor, ale obrácené tvrzení není pravdivé. Například množina konečných posloupností reálných čísel může být normována pomocí euklidovské normy, ale pro tuto normu není úplná.
Vnitřní součinový prostor je normální vektorový prostor, jehož norma je druhá odmocnina vnitřního součinu vektoru a sebe sama. Euklidovská norma euklidovského vektorového prostoru je speciální případ, který umožňuje definovat euklidovskou vzdálenost pomocí vzorce d(A, B) = ||overrightarrow{AB}||.
Studium normálních prostorů a Banachových prostorů je základní součástí funkcionální analýzy, hlavního oboru matematiky.