Norma normovaného vektorového prostoru
V matematice je norma funkce z reálného nebo komplexního vektorového prostoru do nezáporných reálných čísel, která se chová určitým způsobem jako vzdálenost od počátku: komutuje se škálováním, dodržuje určitou formu trojúhelníkové nerovnosti a je nulová pouze v počátku.
Konkrétně je euklidovská vzdálenost v euklidovském prostoru definována normou na přidruženém euklidovském vektorovém prostoru, nazývané euklidovská norma, 2-norma nebo někdy velikost vektoru. Tuto normu lze definovat jako odmocninu skalárního součinu vektoru se sebou samým.
Polinorm vyhovuje prvním dvěma vlastnostem normy, ale může být nulová pro jiné vektory než počátek.
Vektorový prostor se zadanou normou se nazývá normovaný vektorový prostor. Podobně se vektorový prostor se seminormou nazývá seminormovaný vektorový prostor.
Termín pseudonorma se používá pro několik příbuzných významů. Může to být synonymum pro "seminorm". Pseudonorma může vyhovovat stejným axiomům jako norma, přičemž rovnost je nahrazena nerovností "≤" v axiomu homogeneity. Může také odkazovat na normu, která může nabývat nekonečných hodnot, nebo na určité funkce parametrizované řízenou množinou.
Vlastnosti normy
Norma splňuje následující vlastnosti:
Pozitivita: ||x|| ≥ 0 pro všechna x v prostoru a ||x|| = 0 právě tehdy, když x = 0.
Homogenita: ||ax|| = |a| ||x|| pro všechna x v prostoru a všechna skaláry a.
Trojúhelníková nerovnost: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| pro všechna x a y v prostoru.
Tyto vlastnosti naznačují, že norma je mírou "velikosti" nebo "délky" vektoru v normovaném vektorovém prostoru.
Příklady norm
Některé běžné příklady norm zahrnují:
Euklidovská norma: ||x|| = √(x₁² + x₂² + ... + xₙ²) pro vektory x = (x₁, x₂, ..., xₙ) v euklidovském prostoru.
Manhattan norm: ||x|| = |x₁| + |x₂| + ... + |xₙ| pro vektory x = (x₁, x₂, ..., xₙ) v reálném nebo komplexním vektorovém prostoru.
Maximální norma: ||x|| = max{|x₁|, |x₂|, ..., |xₙ|} pro vektory x = (x₁, x₂, ..., xₙ) v reálném nebo komplexním vektorovém prostoru.
Aplikace norm
Normy mají široké uplatnění v různých oblastech matematiky, včetně:
Analýza: Normy se používají k definování konvergence posloupností a řad vektorů.
Algebra: Normy se používají ke studiu algeber a jejich reprezentací.
Optimalizace: Normy se používají k formulaci a řešení optimalizačních problémů.
Číselná analýza: Normy se používají k analýze chyb a stability numerických metod.
Pravděpodobnost: Normy se používají k definování míry pravděpodobnosti a k studiu náhodných proměnných.