Moskevský matematický papyrus Moskevský matematický papyrus, někdy nazývaný Goleniščevův matematický papyrus podle svého prvního neegyptského majitele, egyptologa Vladimira Goleniščeva, je staroegyptský matematický papyrus obsahující několik úloh z aritmetiky, geometrie a algebry. Goleniščev papyrus zakoupil v roce 1892 nebo 1893 v Thébách. Později se dostal do sbírky Puškinova státního muzea výtvarných umění v Moskvě, kde se nachází dodnes. Na základě paleografie a pravopisu hieratického textu byl text pravděpodobně napsán ve 13. dynastii a založen na starším materiálu, který pravděpodobně pochází z období 12. dynastie, přibližně 1850 př. n. l. Papyrus je dlouhý přibližně 5½ m (18 stop) a jeho šířka se pohybuje od 3,8 do 7,6 cm (1,5 až 3 palce). Jeho formát rozdělil sovětský orientalista Vasilij Vasiljevič Struve v roce 1930 do 25 úloh s řešeními. Je to dobře známý matematický papyrus, který je obvykle uváděn společně s Rhindovým matematickým papyrem. Moskevský matematický papyrus je starší než Rhindův matematický papyrus, zatímco ten druhý je větší z obou. Obsah Papyrus obsahuje celkem 25 úloh, z nichž 14 je aritmetických, 6 geometrických a 5 algebraických. Aritmetické úlohy Aritmetické úlohy se zabývají základními operacemi, jako je sčítání, odčítání, násobení a dělení. Obsahují také problémy týkající se zlomků, poměrů a měření. Geometrické úlohy Geometrické úlohy se zabývají výpočtem ploch a objemů různých tvarů, jako jsou trojúhelníky, obdélníky, kruhy a válce. Algebraické úlohy Algebraické úlohy se zabývají řešením lineárních rovnic a rovnic druhého stupně. Obsahují také problémy týkající se posloupností a řad. Význam Moskevský matematický papyrus je důležitým dokumentem pro studium staroegyptské matematiky. Poskytuje vhled do matematických znalostí a metod starých Egypťanů a ukazuje jejich vyspělost v oblasti matematiky. Papyrus je také důležitý pro pochopení vývoje matematiky v celém starověkém světě. Ukazuje podobnosti mezi egyptskou matematikou a matematikou jiných starověkých kultur, jako je Babylónie a Řecko. Závěr Moskevský matematický papyrus je významným příspěvkem ke světovému matematickému dědictví. Poskytuje vhled do matematických znalostí a metod starých Egypťanů a ukazuje jejich vyspělost v oblasti matematiky. Papyrus je také důležitý pro pochopení vývoje matematiky v celém starověkém světě.
Rhindův matematický papyrus Rhindův matematický papyrus (RMP) je jedním z nejznámějších příkladů staroegyptské matematiky. Je pojmenován po Alexandru Henrym Rhindovi, skotském starožitníkovi, který papyrus koupil v roce 1858 v Luxoru v Egyptě. Byl zřejmě nalezen při nelegálních vykopávkách v nebo poblíž Ramessea. Pochází přibližně z roku 1550 př. n. l. Většina papyru je nyní uložena v Britském muzeu, které jej získalo v roce 1865 spolu s Egyptským matematickým svitkem z kůže, který také vlastnil Henry Rhind. Několik malých fragmentů se nachází v Brooklynském muzeu v New Yorku a chybí 18 cm dlouhý střední úsek. Spolu s Moskevským matematickým papyrem je jedním ze dvou známých matematických papyrů. Rhindův papyrus je větší než Moskevský matematický papyrus, který je však starší. Rhindův matematický papyrus pochází z druhého přechodného období starověkého Egypta. Byl opsán písařem Ahmesem (tj. Ahmosem; Ahmes je starší přepis preferovaný historiky matematiky) z dnes již ztraceného textu z doby vlády krále Amenemheta III. (12. dynastie). Tento egyptský rukopis, napsaný hieratickým písmem, je 33 cm vysoký a skládá se z několika částí, které dohromady měří přes 5 m na délku. Papyrus začal být přepisován a matematicky překládán koncem 19. století. Matematický překlad je v několika ohledech stále neúplný. Dokument je datován do 33. roku vlády hyksóského krále Apopiho a obsahuje také samostatnou pozdější historickou poznámku na rubu, která pravděpodobně pochází z období ("11. rok") jeho nástupce Chamudiho. V úvodních odstavcích papyru Ahmes uvádí, že papyrus poskytuje "přesné počítání pro zkoumání věcí a poznání všech věcí, tajemství... všech tajemství". Pokračuje: "Tato kniha byla opsána ve 33. roce vlády, ve 4. měsíci Achetu, pod vládou krále Horního a Dolního Egypta Awserreho, jemuž byl dán život, z dávné kopie pořízené v době krále Horního a Dolního Egypta Nimaatreho. Písař Ahmose tuto kopii napsal." O Rhindově matematickém papyru bylo vydáno několik knih a článků, z nichž některé vynikají. Rhindův papyrus vydal v roce 1923 Peet a obsahuje diskusi o textu, která následovala po Griffithově osnově knihy I, II a III. Chace vydal v letech 1927-29 kompendium, které zahrnovalo fotografie textu. Novější přehled Rhindova matematického papyru vydali v roce 1987 Robins a Shute.
Egyptské násobení
Egyptské násobení (také známé jako etiopské násobení, ruské násobení nebo selské násobení) je jednou ze dvou metod násobení používaných písaři ve starověkém Egyptě. Jedná se o systematickou metodu násobení dvou čísel, která nevyžaduje znalost násobilky, ale pouze schopnost násobit a dělit čísla dvěma a sčítat.
Metoda spočívá v rozložení jednoho z činitelů (nejlépe menšího) na soubor čísel, která jsou mocninami dvou, a následném vytvoření tabulky zdvojnásobení druhého činitele pro každou hodnotu souboru. Tyto zdvojnásobené hodnoty se pak sečtou, aby se získal výsledek násobení.
Tato metoda se někdy nazývá mediace a duplikace, kde mediace znamená dělení čísla dvěma a duplikace znamená zdvojnásobení druhého čísla. V některých oblastech se tato metoda stále používá.
Druhá egyptská technika násobení a dělení byla známa z hieratických Moskevských a Rhindových matematických papyrusů, které napsal písař Ahmes v 17. století př. n. l. Ačkoli ve starověkém Egyptě neexistoval pojem základu 2, algoritmus je v podstatě stejný jako při běžném násobení po převedení multiplikátoru a multiplikandu do binárního tvaru. Metoda interpretovaná jako převod do binárního tvaru se proto dodnes široce používá v podobě binárních multiplikátorových obvodů v moderních počítačových procesorech.
Postup egyptského násobení:
1. Rozdělte menší činitel na soubor čísel, která jsou mocninami dvou.
2. Vytvořte tabulku zdvojnásobení druhého činitele pro každou hodnotu souboru.
3. Sečtěte zdvojnásobené hodnoty, které odpovídají hodnotám souboru, které jsou rovné 1.
4. Výsledek je součtem sečtených zdvojnásobených hodnot.
Příklad:
Násobíme čísla 13 a 7 pomocí egyptského násobení:
1. Rozdělíme 13 na soubor mocnin dvou: 13 = 8 + 4 + 1
2. Vytvoříme tabulku zdvojnásobení čísla 7:
| Mocnina dvou | Zdvojnásobení |
|---|---|
| 8 | 14 |
| 4 | 7 |
| 1 | 1 |
3. Sečteme zdvojnásobené hodnoty odpovídající hodnotám souboru, které jsou rovné 1: 14 + 1 = 15
4. Výsledek je 15, což je součin čísel 13 a 7.
Výhody egyptského násobení:
Nevyžaduje znalost násobilky.
Je snadné se ho naučit a používat.
Je vhodné pro velké činitele.
Nevýhody egyptského násobení:
Může být pomalé pro malé činitele.
Vyžaduje velký počet kroků.
Je náchylné k chybám.
Egyptská geometrie se týká geometrie, jak byla vyvinuta a používána ve starověkém Egyptě. Jejich geometrie byla nezbytným důsledkem vyměřování půdy za účelem zachování rozvržení a vlastnictví zemědělské půdy, která byla každoročně zaplavována řekou Nil. Máme jen omezený počet problémů ze starověkého Egypta, které se týkají geometrie. Geometrické problémy se objevují jak v Moskevském matematickém papyru (MMP), tak v Rhindově matematickém papyru (RMP). Příklady ukazují, že staří Egypťané uměli vypočítat plochy několika geometrických útvarů a objemy válců a pyramid. Moskevský matematický papyrus Moskevský matematický papyrus je nejstarší známý matematický text na světě. Byl napsán kolem roku 1850 př. n. l. a obsahuje 25 matematických problémů. Osm z těchto problémů se týká geometrie. Jeden z problémů v MMP žádá čtenáře, aby vypočítal plochu trojúhelníku se základnou 4 a výškou 6. Egypťané používali vzorec pro plochu trojúhelníku, který je ekvivalentní našemu modernímu vzorci: ``` Plocha = (1/2) × základna × výška ``` Dalším problémem v MMP je vypočítat objem válce. Egypťané používali vzorec pro objem válce, který je ekvivalentní našemu modernímu vzorci: ``` Objem = π × poloměr² × výška ``` Rhindův matematický papyrus Rhindův matematický papyrus je dalším důležitým zdrojem informací o egyptské geometrii. Byl napsán kolem roku 1650 př. n. l. a obsahuje 84 matematických problémů. Třicet čtyři z těchto problémů se týká geometrie. Jeden z problémů v RMP žádá čtenáře, aby vypočítal plochu kruhu. Egypťané používali vzorec pro plochu kruhu, který je ekvivalentní našemu modernímu vzorci: ``` Plocha = π × poloměr² ``` Dalším problémem v RMP je vypočítat objem pyramidy. Egypťané používali vzorec pro objem pyramidy, který je ekvivalentní našemu modernímu vzorci: ``` Objem = (1/3) × základna² × výška ``` Závěr Egyptská geometrie byla vysoce rozvinutá a Egypťané uměli vypočítat plochy a objemy mnoha různých geometrických útvarů. Jejich znalosti geometrie byly nezbytné pro jejich úspěchy v architektuře, zemědělství a dalších oblastech.
Pythagorova věta Pythagorova věta je základní vztah v eukleidovské geometrii mezi třemi stranami pravoúhlého trojúhelníku. Uvádí, že obsah čtverce, jehož stranou je přepona (strana ležící proti pravému úhlu), je roven součtu obsahů čtverců nad oběma zbývajícími stranami. Větu lze zapsat jako rovnici vyjadřující délky stran a, b a přepony c, někdy nazývanou Pythagorova rovnice: ``` a² + b² = c² ``` Věta je pojmenována po řeckém filozofovi Pythagorovi, který se narodil kolem roku 570 př. n. l. Věta byla dokázána mnohokrát různými metodami – možná nejvíce ze všech matematických vět. Důkazy jsou rozmanité, zahrnují jak geometrické důkazy, tak algebraické důkazy, z nichž některé sahají tisíce let zpět. Je-li eukleidovský prostor reprezentován kartézským souřadnicovým systémem v analytické geometrii, eukleidovská vzdálenost splňuje Pythagorovu větu: druhá mocnina vzdálenosti mezi dvěma body se rovná součtu druhých mocnin rozdílu každé souřadnice mezi body. Věta může být zobecněna různými způsoby: na prostory s vyšší dimenzí, na prostory, které nejsou euklidovské, na objekty, které nejsou pravoúhlými trojúhelníky, a na objekty, které nejsou vůbec trojúhelníky, ale n-rozměrná tělesa. Pythagorova věta vzbudila zájem mimo matematiku jako symbol matematické složitosti, tajemství nebo intelektuální síly; populární odkazy v literatuře, divadelních hrách, muzikálech, písních, známkách a kreslených filmech jsou hojné.
Zlomek (z latinského
fractus
, "zlomený") představuje část celku nebo obecněji libovolný počet stejných částí. Ve běžné mluvě zlomek popisuje, kolik částí určité velikosti existuje, například polovina, osm pětin, tři čtvrtiny.
Obecný, prostý nebo jednoduchý zlomek (například 1/2 a 17/3) se skládá z celočíselného čitatele, který je umístěn nad čarou (nebo před lomítkem, např. 1⁄2), a nenulového celočíselného jmenovatele, který je umístěn pod (nebo za) touto čarou. Jsou-li tato čísla kladná, pak čitatel představuje počet stejných částí a jmenovatel označuje, kolik těchto částí tvoří jednotku nebo celek. Například ve zlomku 3/4 čitatel 3 označuje, že zlomek představuje 3 stejné části, a jmenovatel 4 označuje, že 4 části tvoří celek. Obrázek vpravo ilustruje 3/4 dortu.
Zlomky se také používají k vyjádření poměrů a dělení. Zlomek 3/4 lze tedy použít i k vyjádření poměru 3:4 (poměr části k celku) a dělení 3 ÷ 4 (tři děleno čtyřmi).
Můžeme také psát záporné zlomky, které představují opak kladného zlomku. Například pokud 1/2 představuje zisk půl dolaru, pak -1/2 představuje ztrátu půl dolaru. Kvůli pravidlům dělení znaménkových čísel (která mimo jiné uvádějí, že záporné děleno kladným je záporné), -1/2, -1/2 a 1/-2 představují stejný zlomek – záporná polovina. A protože záporné děleno záporným dává kladné, -1/-2 představuje kladnou polovinu.
V matematice se množina všech čísel, která lze vyjádřit ve tvaru a/b, kde a a b jsou celá čísla a b není nula, nazývá množina racionálních čísel a je reprezentována symbolem Q nebo ℚ, což znamená kvocient. Číslo je racionální číslo právě tehdy, když ho lze zapsat v tomto tvaru (tj. jako obecný zlomek). Slovo zlomek však lze použít také k popisu matematických výrazů, které nejsou racionální čísla. Příklady tohoto použití zahrnují algebraické zlomky (kvoty algebraických výrazů) a výrazy, které obsahují iracionální čísla, jako např. √2/2 (viz odmocnina ze 2) a π/4 (viz důkaz, že π je iracionální).
Hypotenuse
V geometrii je přepona nejdelší stranou pravoúhlého trojúhelníku, stranou ležící proti pravému úhlu. Délku přepony lze vypočítat pomocí Pythagorovy věty, která říká, že druhá mocnina délky přepony se rovná součtu druhých mocnin délek ostatních dvou stran. Například, pokud jedna z ostatních stran má délku 3 (když se umocní na druhou, je to 9) a druhá má délku 4 (když se umocní na druhou, je to 16), pak jejich druhé mocniny se sečtou na 25. Délka přepony je odmocnina z 25, tj. 5.
Pythagorova věta
Pythagorova věta je matematická věta, která souvisí s délkami stran pravoúhlého trojúhelníku. Věta říká, že druhá mocnina délky přepony pravoúhlého trojúhelníku je rovna součtu druhých mocnin délek obou jeho ramen.
Matematicky lze Pythagorovu větu vyjádřit následujícím vzorcem:
```
a² + b² = c²
```
kde:
a je délka jedné strany pravoúhlého trojúhelníku (tzv. odvěsna)
b je délka druhé strany pravoúhlého trojúhlíku (tzv. odvěsna)
c je délka přepony pravoúhlého trojúhelníku
Odvození Pythagorovy věty
Pythagorovu větu lze odvodit pomocí jednoduché geometrické konstrukce. Nakreslíme-li čtverec se stranou o délce součtu délek odvěsen, a vložíme-li do něj pravoúhlý trojúhelník tak, aby jeho přepona tvořila jednu stranu čtverce, pak obsah čtverce bude roven součtu obsahů čtyř pravoúhlých trojúhelníků a obsahu čtverce se stranou o délce přepony.
Matematicky lze tento postup vyjádřit následujícím způsobem:
```
(a + b)² = 4
(1/2
a
b) + c²
```
kde:
a je délka jedné strany pravoúhlého trojúhelníku (tzv. odvěsna)
b je délka druhé strany pravoúhlého trojúhlíku (tzv. odvěsna)
c je délka přepony pravoúhlého trojúhelníku
Po úpravě tohoto vzorce dostaneme Pythagorovu větu:
```
a² + b² = c²
```
Použití Pythagorovy věty
Pythagorova věta má široké uplatnění v různých oblastech matematiky a fyziky. Například se používá:
K výpočtu délky přepony pravoúhlého trojúhelníku, pokud známe délky jeho odvěsen
K výpočtu vzdálenosti mezi dvěma body v rovině
K řešení problémů souvisejících s trojrozměrnými objekty, jako jsou krychle a koule
K výpočtu síly a práce v mechanice
Pi (číslo)
Číslo π (vyslovuje se "pí") je matematická konstanta, která představuje poměr obvodu kruhu k jeho průměru a přibližně se rovná 3,14159.
Použití
Číslo π se objevuje v mnoha vzorcích v matematice a fyzice. Používá se například:
K výpočtu plochy kruhu
K výpočtu obvodu kruhu
V dalších vzorcích, jako jsou ty, které se týkají sinusových a kosinových funkcí
Vlastnosti
Číslo π má několik důležitých vlastností:
Iracionalita: Nelze jej vyjádřit jako podíl dvou celých čísel.
Transcendence: Nelze jej získat řešením rovnice, která obsahuje pouze konečné součty, produkty, mocniny a celá čísla.
Hodnota: Je menší než 22/7.
Aproximace
Existuje mnoho způsobů, jak aproximovat číslo π. Některé z nejznámějších metod jsou:
Madhavův korekční člen: Využívá nekonečnou řadu ke zpřesnění aproximací π.
Memorování: Lidé se mohou naučit zapamatovat si desetinná místa π.
Historie
Číslo π bylo studováno po tisíce let. Někteří z nejvýznamnějších matematiků, kteří se zabývali π, jsou:
Archimedes
Liu Hui
Zu Chongzhi
Aryabhata
Madhava
Jamshíd al-Kāshī
Ludolph van Ceulen
François Viète
Seki Takakazu
Takebe Kenko
William Jones
John Machin
William Shanks
Srinivasa Ramanujan
John Wrench
Bratři Chudnovští
Yasumasa Kanada
Souvislosti s kulturou
Číslo π je úzce spjato s kulturou. Například:
Zákon o indiánském čísle pí: Zákon ve státě Indiana, který stanoví, že hodnota π se rovná 3,2.
Den čísla pí: Svátek, který se slaví 14. března, protože datum lze zapsat jako 3,14.
Související témata
Kvadratura kruhu
Problém v Basileji
Šest devítek v π
Historie sporu o rase starých Egypťanů Otázka rasy starých Egypťanů byla vznesena v historickém kontextu raných rasových teorií 18. a 19. století a byla spojována s modely rasové hierarchie založené především na kraniometrii a antropometrii. Různé názory na rasu starých Egypťanů Existovala celá řada názorů na rasovou identitu Egypťanů a původ jejich kultury. Někteří učenci tvrdili, že staroegyptská kultura byla ovlivněna jinými afroasijsky mluvícími populacemi v severní Africe, na Africkém rohu nebo na Blízkém východě, zatímco jiní poukazovali na vlivy různých núbijských skupin nebo populací v Evropě. V novější době někteří autoři nadále zpochybňovali hlavní názor a zaměřovali se na zpochybnění rasy konkrétních významných osobností, jako byl král zobrazený na Velké sfingě v Gíze, původní egyptský faraon Tutanchamon, egyptská královna Tije a řecká ptolemaiovská královna Kleopatra VII. Moderní názory na rasu starých Egypťanů Vědci hlavního proudu odmítají představu, že Egypt byl bílou nebo černou civilizací. Tvrdí, že používání moderních pojmů bílé nebo černé rasy ve vztahu ke starověkému Egyptu je anachronické. Kromě toho vědci odmítají představu implicitně obsaženou v hypotéze o černé nebo bílé rase starých Egypťanů, že starověký Egypt byl rasově homogenní. Místo toho se barva pleti lišila mezi obyvateli Dolního Egypta, Horního Egypta a Núbie, kteří se v různých obdobích dostali k moci ve starověkém Egyptě. Během egyptské historie nebyla demografie navzdory mnoha cizím invazím výrazně ovlivněna velkými migracemi.
Iberomaurusian Rozšíření Maroko, Alžírsko, Tunisko a Libye (na mapě neuvedeno) Období Pozdní doba kamenná, epipaleolit nebo svrchní paleolit Datace cca 25/23 000 – cca 11 000 př. n. l. Typická lokalita La Mouillah Hlavní lokality Taforalt, Afalou bou Rhummel, Haua Fteah, Tamar Hat, Columnata Předcházelo Aterian Následovalo Mushabian, keramika Cardium, Capsian Paleolit ↑ Pliocén (před Homo) Spodní paleolit (cca 3,3 Ma – 300 ka) Lomekwi (3,3 Ma) Oldowan (2,6–1,7 Ma) Acheulean (1,76–0,13 Ma) Madrasian (1,5 Ma) Soanian (500–130 ka) Clactonian (424–400 ka) Mugharan (400–220 ka) Střední paleolit (cca 300–50 ka) Mousterian (160–40 ka) Aterian (145–20 ka) Micoquien (130–70 ka) Sangoan (130–10 ka) Svrchní paleolit (cca 50–12 ka) Počáteční svrchní paleolit Úrodný půlměsíc: Emiran (50–40 ka) Ahmarian (46–42 ka) Baradostian (36–18 ka) Aurignacian (35–29 ka) Zarzian (20–10 ka) Kebaran (18–12,5 ka) Trialetian (16–8 ka) Natufian (14,5–11,5 ka) Khiamian (12,2–10,8 ka) Evropa: Bohunician (48–40 ka) Châtelperronian (44,5–36 ka) Lincombian-Ranisian-Jerzmanowician (43–32 ka) Aurignacian (43–26 ka) Szeletian (41 000–37 000) Périgordian (35–20 ka) Gravettian (33–24 ka) Pavlovian (29–25 ka) Solutrean (22–17 ka) Epigravettian (20–10 ka) Magdalenian (17–12 ka) Hamburg (15,5–13,1 ka) Federmesser (14–12,8 ka) Azilian (14–10 ka) Ahrensburg (13–12 ka) Swiderian (11–8 ka) Afrika: Khormusan (42–18 ka) Iberomaurusian (25–11 ka) Mushabian Halfan (22–14 ka) Qadan (15—11 ka) Sebilian (15–11 ka) Eburran (15–5 ka) Magosian (10–8 ka) Sibiř: Mal'ta–Buret' (24–15 ka) Afontova Gora (21–12 ka} ↓ Mezolit Iberomaurusian je industrie štípaných čepelí s tupým okrajem, která se nachází v blízkosti pobřeží Maroka, Alžírska a Tuniska. Známá je také z jediné velké lokality v Libyi, Haua Fteah, kde je tato industrie místně známá jako východní oranian. Zdá se, že Iberomaurusian se objevil v době posledního glaciálního maxima (LGM), někdy mezi cca 25 000 a 23 000 př. n. l. Trval by až do počátku holocénu cca 11 000 př. n. l. Název Iberomaurusian znamená „z Ibérie a Mauretánie“, přičemž Mauretánie je latinský název pro severozápadní Afriku. Tento termín zavedl Pallary (1909) k popisu souborů z lokality La Mouillah v domnění, že se tato industrie rozšířila přes Gibraltarský průliv na Iberský poloostrov. Tato teorie je dnes obecně vyvrácena (Garrod 1938), ale název se ujal. V Alžírsku, Tunisku a Libyi, ale nikoli v Maroku, je tato industrie následována industrií capsianskou, jejíž původ není jasný. Předpokládá se, že se Capsian rozšířil do severní Afriky z Blízkého východu, nebo že se vyvinul z Iberomaurusianu. V Maroku a západním Alžírsku je Iberomaurusian po dlouhé přestávce následován kulturou Cardial.